Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24050 / 42493
↖ ↑ ↗
← S 47.028951°
W 47.889404°		 ← 416.33 m → S 47.028951°
W 47.883911°		 →
↑
416.34 m
↓
↑
416.34 m
↓
S 47.032695°
W 47.889404°		 ← 416.30 m →
173 331 m²		 S 47.032695°
W 47.883911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366981506347656 y=0.648399353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366981506347656 × 216)
    floor (0.366981506347656 × 65536)
    floor (24050.5)     		tx = 24050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648399353027344 × 216)
    floor (0.648399353027344 × 65536)
    floor (42493.5)     		ty = 42493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24050 / 42493 ti = "16/24050/42493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24050/42493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24050 ÷ 216
    24050 ÷ 65536     		x = 0.366973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42493 ÷ 216
    42493 ÷ 65536     		y = 0.648391723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366973876953125 × 2 - 1) × π
    -0.26605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83582778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648391723632812 × 2 - 1) × π
    -0.296783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.932372697610092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83582778} λ = -0.83582778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932372697610092))-π/2
    2×atan(0.393618663456409)-π/2
    2×0.374993149014085-π/2
    0.74998629802817-1.57079632675     		φ = -0.82081003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83582778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82081003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.028951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24050 KachelY 42493 -0.83582778 -0.82081003 -47.889404 -47.028951
    Oben rechts KachelX + 1 24051 KachelY 42493 -0.83573191 -0.82081003 -47.883911 -47.028951
    Unten links KachelX 24050 KachelY + 1 42494 -0.83582778 -0.82087538 -47.889404 -47.032695
    Unten rechts KachelX + 1 24051 KachelY + 1 42494 -0.83573191 -0.82087538 -47.883911 -47.032695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82081003--0.82087538) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dl = 416.344850000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82081003--0.82087538) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dr = 416.344850000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83582778--0.83573191) × cos(-0.82081003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		do = 416.330494088145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83582778--0.83573191) × cos(-0.82087538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681580915543252 × 6371000     		du = 416.301287479212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82081003)-sin(-0.82087538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681628733476694-0.681580915543252)×R²
    abs(-0.83573191--0.83582778)×4.7817933442551e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7817933442551e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7817933442551e-05×40589641000000     		ar = 173330.977162904m²