Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2405 / 1858
↖ ↑ ↗
← N 16.467695°
E 31.376953°		 ← 9 372.10 m → N 16.467695°
E 31.464844°		 →
↑
9 374.10 m
↓
↑
9 374.10 m
↓
N 16.383391°
E 31.376953°		 ← 9 376.16 m →
87 874 022 m²		 N 16.383391°
E 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5872802734375 y=0.4537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5872802734375 × 212)
    floor (0.5872802734375 × 4096)
    floor (2405.5)     		tx = 2405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4537353515625 × 212)
    floor (0.4537353515625 × 4096)
    floor (1858.5)     		ty = 1858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2405 / 1858 ti = "12/2405/1858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2405/1858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2405 ÷ 212
    2405 ÷ 4096     		x = 0.587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1858 ÷ 212
    1858 ÷ 4096     		y = 0.45361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45361328125 × 2 - 1) × π
    0.0927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54763114} λ = 0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291456349689941))-π/2
    2×atan(1.33837521172244)-π/2
    2×0.929105910178965-π/2
    1.85821182035793-1.57079632675     		φ = 0.28741549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28741549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.467695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2405 KachelY 1858 0.54763114 0.28741549 31.376953 16.467695
    Oben rechts KachelX + 1 2406 KachelY 1858 0.54916512 0.28741549 31.464844 16.467695
    Unten links KachelX 2405 KachelY + 1 1859 0.54763114 0.28594412 31.376953 16.383391
    Unten rechts KachelX + 1 2406 KachelY + 1 1859 0.54916512 0.28594412 31.464844 16.383391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28741549-0.28594412) × R
    0.00147136999999997 × 6371000     		dl = 9374.09826999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28741549-0.28594412) × R
    0.00147136999999997 × 6371000     		dr = 9374.09826999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54763114-0.54916512) × cos(0.28741549) × R
    0.00153397999999993 × 0.958979720690072 × 6371000     		do = 9372.09594079582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54763114-0.54916512) × cos(0.28594412) × R
    0.00153397999999993 × 0.95939577862071 × 6371000     		du = 9376.16206936845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28741549)-sin(0.28594412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958979720690072-0.95939577862071)×R²
    abs(0.54916512-0.54763114)×0.00041605793063848×R²
    0.00153397999999993×0.00041605793063848×6371000²
    0.00153397999999993×0.00041605793063848×40589641000000     		ar = 87874022.3427178m²