Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24049 / 28157
↖ ↑ ↗
← N 24.542126°
W 47.894898°		 ← 555.66 m → N 24.542126°
W 47.889404°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
N 24.537130°
W 47.894898°		 ← 555.69 m →
308 742 m²		 N 24.537130°
W 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366966247558594 y=0.429649353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366966247558594 × 216)
    floor (0.366966247558594 × 65536)
    floor (24049.5)     		tx = 24049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429649353027344 × 216)
    floor (0.429649353027344 × 65536)
    floor (28157.5)     		ty = 28157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24049 / 28157 ti = "16/24049/28157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24049/28157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24049 ÷ 216
    24049 ÷ 65536     		x = 0.366958618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28157 ÷ 216
    28157 ÷ 65536     		y = 0.429641723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366958618164062 × 2 - 1) × π
    -0.266082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83592366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429641723632812 × 2 - 1) × π
    0.140716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442074088296158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83592366} λ = -0.83592366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442074088296158))-π/2
    2×atan(1.55593101244155)-π/2
    2×0.999568618855141-π/2
    1.99913723771028-1.57079632675     		φ = 0.42834091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83592366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.894898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42834091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.542126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24049 KachelY 28157 -0.83592366 0.42834091 -47.894898 24.542126
    Oben rechts KachelX + 1 24050 KachelY 28157 -0.83582778 0.42834091 -47.889404 24.542126
    Unten links KachelX 24049 KachelY + 1 28158 -0.83592366 0.42825370 -47.894898 24.537130
    Unten rechts KachelX + 1 24050 KachelY + 1 28158 -0.83582778 0.42825370 -47.889404 24.537130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42834091-0.42825370) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dl = 555.614910000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42834091-0.42825370) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dr = 555.614910000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83592366--0.83582778) × cos(0.42834091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.909656124537179 × 6371000     		do = 555.664789964236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83592366--0.83582778) × cos(0.42825370) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.909692344813042 × 6371000     		du = 555.686915173353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42834091)-sin(0.42825370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909656124537179-0.909692344813042)×R²
    abs(-0.83582778--0.83592366)×3.62202758632524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.62202758632524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.62202758632524e-05×40589641000000     		ar = 308741.789010002m²