Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24048 / 28156
↖ ↑ ↗
← N 24.547123°
W 47.900391°		 ← 555.58 m → N 24.547123°
W 47.894898°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
N 24.542126°
W 47.900391°		 ← 555.61 m →
308 697 m²		 N 24.542126°
W 47.894898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366950988769531 y=0.429634094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366950988769531 × 216)
    floor (0.366950988769531 × 65536)
    floor (24048.5)     		tx = 24048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429634094238281 × 216)
    floor (0.429634094238281 × 65536)
    floor (28156.5)     		ty = 28156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24048 / 28156 ti = "16/24048/28156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24048/28156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24048 ÷ 216
    24048 ÷ 65536     		x = 0.366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28156 ÷ 216
    28156 ÷ 65536     		y = 0.42962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42962646484375 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.442169962095398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83601953} λ = -0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442169962095398))-π/2
    2×atan(1.55608019261019)-π/2
    2×0.999612224081161-π/2
    1.99922444816232-1.57079632675     		φ = 0.42842812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42842812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.547123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24048 KachelY 28156 -0.83601953 0.42842812 -47.900391 24.547123
    Oben rechts KachelX + 1 24049 KachelY 28156 -0.83592366 0.42842812 -47.894898 24.547123
    Unten links KachelX 24048 KachelY + 1 28157 -0.83601953 0.42834091 -47.900391 24.542126
    Unten rechts KachelX + 1 24049 KachelY + 1 28157 -0.83592366 0.42834091 -47.894898 24.542126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42842812-0.42834091) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dl = 555.614910000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42842812-0.42834091) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dr = 555.614910000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83601953--0.83592366) × cos(0.42842812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90961989734285 × 6371000     		do = 555.584708645656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83601953--0.83592366) × cos(0.42834091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909656124537179 × 6371000     		du = 555.606835772894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42842812)-sin(0.42834091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90961989734285-0.909656124537179)×R²
    abs(-0.83592366--0.83601953)×3.62271943294967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62271943294967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62271943294967e-05×40589641000000     		ar = 308697.295167977m²