Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24047 / 28153
↖ ↑ ↗
← N 24.562112°
W 47.905884°		 ← 555.52 m → N 24.562112°
W 47.900391°		 →
↑
555.55 m
↓
↑
555.55 m
↓
N 24.557116°
W 47.905884°		 ← 555.54 m →
308 625 m²		 N 24.557116°
W 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366935729980469 y=0.429588317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366935729980469 × 216)
    floor (0.366935729980469 × 65536)
    floor (24047.5)     		tx = 24047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429588317871094 × 216)
    floor (0.429588317871094 × 65536)
    floor (28153.5)     		ty = 28153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24047 / 28153 ti = "16/24047/28153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24047/28153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24047 ÷ 216
    24047 ÷ 65536     		x = 0.366928100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28153 ÷ 216
    28153 ÷ 65536     		y = 0.429580688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366928100585938 × 2 - 1) × π
    -0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429580688476562 × 2 - 1) × π
    0.140838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.442457583493118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83611540} λ = -0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442457583493118))-π/2
    2×atan(1.55652781894052)-π/2
    2×0.999743029337614-π/2
    1.99948605867523-1.57079632675     		φ = 0.42868973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42868973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.562112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24047 KachelY 28153 -0.83611540 0.42868973 -47.905884 24.562112
    Oben rechts KachelX + 1 24048 KachelY 28153 -0.83601953 0.42868973 -47.900391 24.562112
    Unten links KachelX 24047 KachelY + 1 28154 -0.83611540 0.42860253 -47.905884 24.557116
    Unten rechts KachelX + 1 24048 KachelY + 1 28154 -0.83601953 0.42860253 -47.900391 24.557116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42868973-0.42860253) × R
    8.72000000000095e-05 × 6371000     		dl = 555.55120000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42868973-0.42860253) × R
    8.72000000000095e-05 × 6371000     		dr = 555.55120000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83611540--0.83601953) × cos(0.42868973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909511182565409 × 6371000     		do = 555.518306989177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83611540--0.83601953) × cos(0.42860253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909547426355896 × 6371000     		du = 555.540444253145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42868973)-sin(0.42860253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909511182565409-0.909547426355896)×R²
    abs(-0.83601953--0.83611540)×3.6243790486723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6243790486723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6243790486723e-05×40589641000000     		ar = 308625.011457281m²