Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24046 / 28158
↖ ↑ ↗
← N 24.537130°
W 47.911377°		 ← 555.69 m → N 24.537130°
W 47.905884°		 →
↑
555.68 m
↓
↑
555.68 m
↓
N 24.532132°
W 47.911377°		 ← 555.71 m →
308 789 m²		 N 24.532132°
W 47.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366920471191406 y=0.429664611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366920471191406 × 216)
    floor (0.366920471191406 × 65536)
    floor (24046.5)     		tx = 24046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429664611816406 × 216)
    floor (0.429664611816406 × 65536)
    floor (28158.5)     		ty = 28158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24046 / 28158 ti = "16/24046/28158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24046/28158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24046 ÷ 216
    24046 ÷ 65536     		x = 0.366912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28158 ÷ 216
    28158 ÷ 65536     		y = 0.429656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.26617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83621128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429656982421875 × 2 - 1) × π
    0.14068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441978214496918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83621128} λ = -0.83621128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441978214496918))-π/2
    2×atan(1.5557818465747)-π/2
    2×0.999525011892624-π/2
    1.99905002378525-1.57079632675     		φ = 0.42825370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83621128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42825370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.537130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24046 KachelY 28158 -0.83621128 0.42825370 -47.911377 24.537130
    Oben rechts KachelX + 1 24047 KachelY 28158 -0.83611540 0.42825370 -47.905884 24.537130
    Unten links KachelX 24046 KachelY + 1 28159 -0.83621128 0.42816648 -47.911377 24.532132
    Unten rechts KachelX + 1 24047 KachelY + 1 28159 -0.83611540 0.42816648 -47.905884 24.532132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42825370-0.42816648) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dl = 555.678619999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42825370-0.42816648) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dr = 555.678619999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83621128--0.83611540) × cos(0.42825370) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.909692344813042 × 6371000     		do = 555.686915173996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83621128--0.83611540) × cos(0.42816648) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		du = 555.709038693067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42825370)-sin(0.42816648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909692344813042-0.909728562322199)×R²
    abs(-0.83611540--0.83621128)×3.62175091566108e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.62175091566108e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.62175091566108e-05×40589641000000     		ar = 308789.485154966m²