Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24045 / 28151
↖ ↑ ↗
← N 24.572104°
W 47.916870°		 ← 555.47 m → N 24.572104°
W 47.911377°		 →
↑
555.49 m
↓
↑
555.49 m
↓
N 24.567108°
W 47.916870°		 ← 555.50 m →
308 565 m²		 N 24.567108°
W 47.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366905212402344 y=0.429557800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366905212402344 × 216)
    floor (0.366905212402344 × 65536)
    floor (24045.5)     		tx = 24045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429557800292969 × 216)
    floor (0.429557800292969 × 65536)
    floor (28151.5)     		ty = 28151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24045 / 28151 ti = "16/24045/28151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24045/28151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24045 ÷ 216
    24045 ÷ 65536     		x = 0.366897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28151 ÷ 216
    28151 ÷ 65536     		y = 0.429550170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366897583007812 × 2 - 1) × π
    -0.266204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83630715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429550170898438 × 2 - 1) × π
    0.140899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.442649331091599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83630715} λ = -0.83630715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442649331091599))-π/2
    2×atan(1.55682630802814)-π/2
    2×0.99983022415462-π/2
    1.99966044830924-1.57079632675     		φ = 0.42886412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83630715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.916870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42886412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.572104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24045 KachelY 28151 -0.83630715 0.42886412 -47.916870 24.572104
    Oben rechts KachelX + 1 24046 KachelY 28151 -0.83621128 0.42886412 -47.911377 24.572104
    Unten links KachelX 24045 KachelY + 1 28152 -0.83630715 0.42877693 -47.916870 24.567108
    Unten rechts KachelX + 1 24046 KachelY + 1 28152 -0.83621128 0.42877693 -47.911377 24.567108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42886412-0.42877693) × R
    8.71900000000148e-05 × 6371000     		dl = 555.487490000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42886412-0.42877693) × R
    8.71900000000148e-05 × 6371000     		dr = 555.487490000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83630715--0.83621128) × cos(0.42886412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90943867839576 × 6371000     		do = 555.474022329081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83630715--0.83621128) × cos(0.42877693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909474931859145 × 6371000     		du = 555.496165501137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42886412)-sin(0.42877693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90943867839576-0.909474931859145)×R²
    abs(-0.83621128--0.83630715)×3.62534633855383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62534633855383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62534633855383e-05×40589641000000     		ar = 308565.020746814m²