Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24043 / 27210
↖ ↑ ↗
← N 29.180941°
W 47.927857°		 ← 533.32 m → N 29.180941°
W 47.922363°		 →
↑
533.25 m
↓
↑
533.25 m
↓
N 29.176145°
W 47.927857°		 ← 533.35 m →
284 404 m²		 N 29.176145°
W 47.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366874694824219 y=0.415199279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366874694824219 × 216)
    floor (0.366874694824219 × 65536)
    floor (24043.5)     		tx = 24043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415199279785156 × 216)
    floor (0.415199279785156 × 65536)
    floor (27210.5)     		ty = 27210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24043 / 27210 ti = "16/24043/27210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24043/27210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24043 ÷ 216
    24043 ÷ 65536     		x = 0.366867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27210 ÷ 216
    27210 ÷ 65536     		y = 0.415191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366867065429688 × 2 - 1) × π
    -0.266265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83649890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415191650390625 × 2 - 1) × π
    0.16961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.532866576176544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83649890} λ = -0.83649890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532866576176544))-π/2
    2×atan(1.703809414458)-π/2
    2×1.04004991556165-π/2
    2.08009983112329-1.57079632675     		φ = 0.50930350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83649890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.927857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50930350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.180941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24043 KachelY 27210 -0.83649890 0.50930350 -47.927857 29.180941
    Oben rechts KachelX + 1 24044 KachelY 27210 -0.83640302 0.50930350 -47.922363 29.180941
    Unten links KachelX 24043 KachelY + 1 27211 -0.83649890 0.50921980 -47.927857 29.176145
    Unten rechts KachelX + 1 24044 KachelY + 1 27211 -0.83640302 0.50921980 -47.922363 29.176145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50930350-0.50921980) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dl = 533.252700000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50930350-0.50921980) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dr = 533.252700000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83649890--0.83640302) × cos(0.50930350) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.873084311381197 × 6371000     		do = 533.324843772253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83649890--0.83640302) × cos(0.50921980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.873125117870097 × 6371000     		du = 533.349770476391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50930350)-sin(0.50921980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873084311381197-0.873125117870097)×R²
    abs(-0.83640302--0.83649890)×4.080648890048e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.080648890048e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.080648890048e-05×40589641000000     		ar = 284403.559200887m²