Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24042 / 28150
↖ ↑ ↗
← N 24.577100°
W 47.933349°		 ← 555.45 m → N 24.577100°
W 47.927857°		 →
↑
555.49 m
↓
↑
555.49 m
↓
N 24.572104°
W 47.933349°		 ← 555.47 m →
308 553 m²		 N 24.572104°
W 47.927857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366859436035156 y=0.429542541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366859436035156 × 216)
    floor (0.366859436035156 × 65536)
    floor (24042.5)     		tx = 24042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429542541503906 × 216)
    floor (0.429542541503906 × 65536)
    floor (28150.5)     		ty = 28150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24042 / 28150 ti = "16/24042/28150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24042/28150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24042 ÷ 216
    24042 ÷ 65536     		x = 0.366851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28150 ÷ 216
    28150 ÷ 65536     		y = 0.429534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.26629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83659477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429534912109375 × 2 - 1) × π
    0.14093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.442745204890839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83659477} λ = -0.83659477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442745204890839))-π/2
    2×atan(1.55697557403628)-π/2
    2×0.999873818956148-π/2
    1.9997476379123-1.57079632675     		φ = 0.42895131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83659477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.933349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42895131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.577100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24042 KachelY 28150 -0.83659477 0.42895131 -47.933349 24.577100
    Oben rechts KachelX + 1 24043 KachelY 28150 -0.83649890 0.42895131 -47.927857 24.577100
    Unten links KachelX 24042 KachelY + 1 28151 -0.83659477 0.42886412 -47.933349 24.572104
    Unten rechts KachelX + 1 24043 KachelY + 1 28151 -0.83649890 0.42886412 -47.927857 24.572104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42895131-0.42886412) × R
    8.71899999999592e-05 × 6371000     		dl = 555.48748999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42895131-0.42886412) × R
    8.71899999999592e-05 × 6371000     		dr = 555.48748999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83659477--0.83649890) × cos(0.42895131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909402418018734 × 6371000     		do = 555.451874934258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83659477--0.83649890) × cos(0.42886412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90943867839576 × 6371000     		du = 555.474022329081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42895131)-sin(0.42886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909402418018734-0.90943867839576)×R²
    abs(-0.83649890--0.83659477)×3.62603770256431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62603770256431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62603770256431e-05×40589641000000     		ar = 308552.719318872m²