Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24039 / 28137
↖ ↑ ↗
← N 24.642024°
W 47.949829°		 ← 555.16 m → N 24.642024°
W 47.944336°		 →
↑
555.17 m
↓
↑
555.17 m
↓
N 24.637032°
W 47.949829°		 ← 555.19 m →
308 216 m²		 N 24.637032°
W 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366813659667969 y=0.429344177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366813659667969 × 216)
    floor (0.366813659667969 × 65536)
    floor (24039.5)     		tx = 24039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429344177246094 × 216)
    floor (0.429344177246094 × 65536)
    floor (28137.5)     		ty = 28137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24039 / 28137 ti = "16/24039/28137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24039/28137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24039 ÷ 216
    24039 ÷ 65536     		x = 0.366806030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28137 ÷ 216
    28137 ÷ 65536     		y = 0.429336547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366806030273438 × 2 - 1) × π
    -0.266387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83688239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429336547851562 × 2 - 1) × π
    0.141326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44399156428096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83688239} λ = -0.83688239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44399156428096))-π/2
    2×atan(1.5589173349778)-π/2
    2×1.00044039309237-π/2
    2.00088078618473-1.57079632675     		φ = 0.43008446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83688239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43008446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.642024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24039 KachelY 28137 -0.83688239 0.43008446 -47.949829 24.642024
    Oben rechts KachelX + 1 24040 KachelY 28137 -0.83678652 0.43008446 -47.944336 24.642024
    Unten links KachelX 24039 KachelY + 1 28138 -0.83688239 0.42999732 -47.949829 24.637032
    Unten rechts KachelX + 1 24040 KachelY + 1 28138 -0.83678652 0.42999732 -47.944336 24.637032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43008446-0.42999732) × R
    8.71399999999856e-05 × 6371000     		dl = 555.168939999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43008446-0.42999732) × R
    8.71399999999856e-05 × 6371000     		dr = 555.168939999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83688239--0.83678652) × cos(0.43008446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908930537524904 × 6371000     		do = 555.163656099725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83688239--0.83678652) × cos(0.42999732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908966866885371 × 6371000     		du = 555.185845628791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43008446)-sin(0.42999732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908930537524904-0.908966866885371)×R²
    abs(-0.83678652--0.83688239)×3.63293604672688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63293604672688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63293604672688e-05×40589641000000     		ar = 308215.778147165m²