Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24038 / 28208
↖ ↑ ↗
← N 24.287027°
W 47.955322°		 ← 556.79 m → N 24.287027°
W 47.949829°		 →
↑
556.76 m
↓
↑
556.76 m
↓
N 24.282020°
W 47.955322°		 ← 556.81 m →
310 005 m²		 N 24.282020°
W 47.949829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366798400878906 y=0.430427551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366798400878906 × 216)
    floor (0.366798400878906 × 65536)
    floor (24038.5)     		tx = 24038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430427551269531 × 216)
    floor (0.430427551269531 × 65536)
    floor (28208.5)     		ty = 28208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24038 / 28208 ti = "16/24038/28208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24038/28208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24038 ÷ 216
    24038 ÷ 65536     		x = 0.366790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28208 ÷ 216
    28208 ÷ 65536     		y = 0.430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83697827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.437184524534912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83697827} λ = -0.83697827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437184524534912))-π/2
    2×atan(1.54834175774071)-π/2
    2×0.997342455552322-π/2
    1.99468491110464-1.57079632675     		φ = 0.42388858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83697827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42388858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.287027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24038 KachelY 28208 -0.83697827 0.42388858 -47.955322 24.287027
    Oben rechts KachelX + 1 24039 KachelY 28208 -0.83688239 0.42388858 -47.949829 24.287027
    Unten links KachelX 24038 KachelY + 1 28209 -0.83697827 0.42380119 -47.955322 24.282020
    Unten rechts KachelX + 1 24039 KachelY + 1 28209 -0.83688239 0.42380119 -47.949829 24.282020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42388858-0.42380119) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dl = 556.761690000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42388858-0.42380119) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dr = 556.761690000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83697827--0.83688239) × cos(0.42388858) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.911496431740683 × 6371000     		do = 556.788944343795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83697827--0.83688239) × cos(0.42380119) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.911532372464509 × 6371000     		du = 556.810898788136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42388858)-sin(0.42380119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911496431740683-0.911532372464509)×R²
    abs(-0.83688239--0.83697827)×3.59407238262888e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.59407238262888e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.59407238262888e-05×40589641000000     		ar = 310004.865520238m²