Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24037 / 30179
↖ ↑ ↗
← N 14.077973°
W 47.960815°		 ← 592.44 m → N 14.077973°
W 47.955322°		 →
↑
592.44 m
↓
↑
592.44 m
↓
N 14.072645°
W 47.960815°		 ← 592.46 m →
350 991 m²		 N 14.072645°
W 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366783142089844 y=0.460502624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366783142089844 × 216)
    floor (0.366783142089844 × 65536)
    floor (24037.5)     		tx = 24037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460502624511719 × 216)
    floor (0.460502624511719 × 65536)
    floor (30179.5)     		ty = 30179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24037 / 30179 ti = "16/24037/30179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24037/30179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24037 ÷ 216
    24037 ÷ 65536     		x = 0.366775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30179 ÷ 216
    30179 ÷ 65536     		y = 0.460494995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.266448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83707414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460494995117188 × 2 - 1) × π
    0.079010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248217266232651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83707414} λ = -0.83707414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248217266232651))-π/2
    2×atan(1.28173838041338)-π/2
    2×0.908251655538723-π/2
    1.81650331107745-1.57079632675     		φ = 0.24570698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83707414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.960815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24570698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.077973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24037 KachelY 30179 -0.83707414 0.24570698 -47.960815 14.077973
    Oben rechts KachelX + 1 24038 KachelY 30179 -0.83697827 0.24570698 -47.955322 14.077973
    Unten links KachelX 24037 KachelY + 1 30180 -0.83707414 0.24561399 -47.960815 14.072645
    Unten rechts KachelX + 1 24038 KachelY + 1 30180 -0.83697827 0.24561399 -47.955322 14.072645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24570698-0.24561399) × R
    9.29899999999872e-05 × 6371000     		dl = 592.439289999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24570698-0.24561399) × R
    9.29899999999872e-05 × 6371000     		dr = 592.439289999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83707414--0.83697827) × cos(0.24570698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969965600069063 × 6371000     		do = 592.443125842882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83707414--0.83697827) × cos(0.24561399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969988214961153 × 6371000     		du = 592.45693874239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24570698)-sin(0.24561399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969965600069063-0.969988214961153)×R²
    abs(-0.83697827--0.83707414)×2.26148920893232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26148920893232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26148920893232e-05×40589641000000     		ar = 350990.676744804m²