Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24035 / 27219
↖ ↑ ↗
← N 29.137768°
W 47.971802°		 ← 533.55 m → N 29.137768°
W 47.966308°		 →
↑
533.51 m
↓
↑
533.51 m
↓
N 29.132970°
W 47.971802°		 ← 533.57 m →
284 659 m²		 N 29.132970°
W 47.966308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366752624511719 y=0.415336608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366752624511719 × 216)
    floor (0.366752624511719 × 65536)
    floor (24035.5)     		tx = 24035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415336608886719 × 216)
    floor (0.415336608886719 × 65536)
    floor (27219.5)     		ty = 27219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24035 / 27219 ti = "16/24035/27219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24035/27219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24035 ÷ 216
    24035 ÷ 65536     		x = 0.366744995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27219 ÷ 216
    27219 ÷ 65536     		y = 0.415328979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366744995117188 × 2 - 1) × π
    -0.266510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83726589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415328979492188 × 2 - 1) × π
    0.169342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.532003711983383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83726589} λ = -0.83726589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532003711983383))-π/2
    2×atan(1.70233989241245)-π/2
    2×1.03967315975708-π/2
    2.07934631951416-1.57079632675     		φ = 0.50854999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83726589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.971802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50854999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.137768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24035 KachelY 27219 -0.83726589 0.50854999 -47.971802 29.137768
    Oben rechts KachelX + 1 24036 KachelY 27219 -0.83717001 0.50854999 -47.966308 29.137768
    Unten links KachelX 24035 KachelY + 1 27220 -0.83726589 0.50846625 -47.971802 29.132970
    Unten rechts KachelX + 1 24036 KachelY + 1 27220 -0.83717001 0.50846625 -47.966308 29.132970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50854999-0.50846625) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dl = 533.507539999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50854999-0.50846625) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dr = 533.507539999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83726589--0.83717001) × cos(0.50854999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.873451451802296 × 6371000     		do = 533.549112041231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83726589--0.83717001) × cos(0.50846625) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		du = 533.574016996791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50854999)-sin(0.50846625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873451451802296-0.873492222687487)×R²
    abs(-0.83717001--0.83726589)×4.07708851904998e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.07708851904998e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.07708851904998e-05×40589641000000     		ar = 284659.117891544m²