Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24024 / 28184
↖ ↑ ↗
← N 24.407138°
W 48.032227°		 ← 556.20 m → N 24.407138°
W 48.026734°		 →
↑
556.25 m
↓
↑
556.25 m
↓
N 24.402136°
W 48.032227°		 ← 556.23 m →
309 395 m²		 N 24.402136°
W 48.026734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366584777832031 y=0.430061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366584777832031 × 216)
    floor (0.366584777832031 × 65536)
    floor (24024.5)     		tx = 24024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430061340332031 × 216)
    floor (0.430061340332031 × 65536)
    floor (28184.5)     		ty = 28184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24024 / 28184 ti = "16/24024/28184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24024/28184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24024 ÷ 216
    24024 ÷ 65536     		x = 0.3665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28184 ÷ 216
    28184 ÷ 65536     		y = 0.4300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83832050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439485495716675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83832050} λ = -0.83832050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439485495716675))-π/2
    2×atan(1.5519085494736)-π/2
    2×0.998390622218079-π/2
    1.99678124443616-1.57079632675     		φ = 0.42598492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83832050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42598492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.407138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24024 KachelY 28184 -0.83832050 0.42598492 -48.032227 24.407138
    Oben rechts KachelX + 1 24025 KachelY 28184 -0.83822463 0.42598492 -48.026734 24.407138
    Unten links KachelX 24024 KachelY + 1 28185 -0.83832050 0.42589761 -48.032227 24.402136
    Unten rechts KachelX + 1 24025 KachelY + 1 28185 -0.83822463 0.42589761 -48.026734 24.402136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42598492-0.42589761) × R
    8.73100000000071e-05 × 6371000     		dl = 556.252010000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42598492-0.42589761) × R
    8.73100000000071e-05 × 6371000     		dr = 556.252010000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83832050--0.83822463) × cos(0.42598492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910632188150882 × 6371000     		do = 556.203003490886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83832050--0.83822463) × cos(0.42589761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910668262733212 × 6371000     		du = 556.22503740458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42598492)-sin(0.42589761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910632188150882-0.910668262733212)×R²
    abs(-0.83822463--0.83832050)×3.60745823299036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60745823299036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60745823299036e-05×40589641000000     		ar = 309395.167060837m²