Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24022 / 28224
↖ ↑ ↗
← N 24.206890°
W 48.043213°		 ← 557.14 m → N 24.206890°
W 48.037719°		 →
↑
557.14 m
↓
↑
557.14 m
↓
N 24.201879°
W 48.043213°		 ← 557.16 m →
310 413 m²		 N 24.201879°
W 48.037719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366554260253906 y=0.430671691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366554260253906 × 216)
    floor (0.366554260253906 × 65536)
    floor (24022.5)     		tx = 24022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430671691894531 × 216)
    floor (0.430671691894531 × 65536)
    floor (28224.5)     		ty = 28224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24022 / 28224 ti = "16/24022/28224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24022/28224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24022 ÷ 216
    24022 ÷ 65536     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28224 ÷ 216
    28224 ÷ 65536     		y = 0.4306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43565054374707))-π/2
    2×atan(1.54596845199942)-π/2
    2×0.996643126180616-π/2
    1.99328625236123-1.57079632675     		φ = 0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24022 KachelY 28224 -0.83851225 0.42248993 -48.043213 24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 24023 KachelY 28224 -0.83841637 0.42248993 -48.037719 24.206890
    Unten links KachelX 24022 KachelY + 1 28225 -0.83851225 0.42240248 -48.043213 24.201879
    Unten rechts KachelX + 1 24023 KachelY + 1 28225 -0.83841637 0.42240248 -48.037719 24.201879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42248993-0.42240248) × R
    8.74499999999889e-05 × 6371000     		dl = 557.143949999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42248993-0.42240248) × R
    8.74499999999889e-05 × 6371000     		dr = 557.143949999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83841637) × cos(0.42248993) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 557.139807766584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83841637) × cos(0.42240248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.912106669789043 × 6371000     		du = 557.161709158143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42248993)-sin(0.42240248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.912106669789043)×R²
    abs(-0.83841637--0.83851225)×3.58538732834202e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58538732834202e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58538732834202e-05×40589641000000     		ar = 310413.174512861m²