Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24022 / 28220
↖ ↑ ↗
← N 24.226929°
W 48.043213°		 ← 557.05 m → N 24.226929°
W 48.037719°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
N 24.221919°
W 48.043213°		 ← 557.07 m →
310 293 m²		 N 24.221919°
W 48.037719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366554260253906 y=0.430610656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366554260253906 × 216)
    floor (0.366554260253906 × 65536)
    floor (24022.5)     		tx = 24022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430610656738281 × 216)
    floor (0.430610656738281 × 65536)
    floor (28220.5)     		ty = 28220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24022 / 28220 ti = "16/24022/28220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24022/28220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24022 ÷ 216
    24022 ÷ 65536     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28220 ÷ 216
    28220 ÷ 65536     		y = 0.43060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.436034038944031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436034038944031))-π/2
    2×atan(1.54656143717163)-π/2
    2×0.996817999816582-π/2
    1.99363599963316-1.57079632675     		φ = 0.42283967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42283967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.226929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24022 KachelY 28220 -0.83851225 0.42283967 -48.043213 24.226929
    Oben rechts KachelX + 1 24023 KachelY 28220 -0.83841637 0.42283967 -48.037719 24.226929
    Unten links KachelX 24022 KachelY + 1 28221 -0.83851225 0.42275224 -48.043213 24.221919
    Unten rechts KachelX + 1 24023 KachelY + 1 28221 -0.83841637 0.42275224 -48.037719 24.221919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42283967-0.42275224) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42283967-0.42275224) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83841637) × cos(0.42283967) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		do = 557.05217463458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83841637) × cos(0.42275224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		du = 557.074088052818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42283967)-sin(0.42275224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911927355295832-0.911963228857502)×R²
    abs(-0.83841637--0.83851225)×3.58735616694528e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58735616694528e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58735616694528e-05×40589641000000     		ar = 310293.372609491m²