Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24020 / 28223
↖ ↑ ↗
← N 24.211900°
W 48.054199°		 ← 557.12 m → N 24.211900°
W 48.048706°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
N 24.206890°
W 48.054199°		 ← 557.14 m →
310 365 m²		 N 24.206890°
W 48.048706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366523742675781 y=0.430656433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366523742675781 × 216)
    floor (0.366523742675781 × 65536)
    floor (24020.5)     		tx = 24020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430656433105469 × 216)
    floor (0.430656433105469 × 65536)
    floor (28223.5)     		ty = 28223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24020 / 28223 ti = "16/24020/28223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24020/28223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24020 ÷ 216
    24020 ÷ 65536     		x = 0.36651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28223 ÷ 216
    28223 ÷ 65536     		y = 0.430648803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83870400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430648803710938 × 2 - 1) × π
    0.138702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.43574641754631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83870400} λ = -0.83870400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43574641754631))-π/2
    2×atan(1.54611667697375)-π/2
    2×0.996686847168424-π/2
    1.99337369433685-1.57079632675     		φ = 0.42257737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83870400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42257737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.211900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24020 KachelY 28223 -0.83870400 0.42257737 -48.054199 24.211900
    Oben rechts KachelX + 1 24021 KachelY 28223 -0.83860812 0.42257737 -48.048706 24.211900
    Unten links KachelX 24020 KachelY + 1 28224 -0.83870400 0.42248993 -48.054199 24.206890
    Unten rechts KachelX + 1 24021 KachelY + 1 28224 -0.83860812 0.42248993 -48.048706 24.206890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42257737-0.42248993) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42257737-0.42248993) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83870400--0.83860812) × cos(0.42257737) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		do = 557.11790462012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83870400--0.83860812) × cos(0.42248993) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.91207081591576 × 6371000     		du = 557.139807767229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42257737)-sin(0.42248993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912034959168537-0.91207081591576)×R²
    abs(-0.83860812--0.83870400)×3.58567472227289e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.58567472227289e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.58567472227289e-05×40589641000000     		ar = 310365.477117126m²