Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24020 / 28222
↖ ↑ ↗
← N 24.216910°
W 48.054199°		 ← 557.10 m → N 24.216910°
W 48.048706°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
N 24.211900°
W 48.054199°		 ← 557.12 m →
310 353 m²		 N 24.211900°
W 48.048706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366523742675781 y=0.430641174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366523742675781 × 216)
    floor (0.366523742675781 × 65536)
    floor (24020.5)     		tx = 24020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430641174316406 × 216)
    floor (0.430641174316406 × 65536)
    floor (28222.5)     		ty = 28222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24020 / 28222 ti = "16/24020/28222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24020/28222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24020 ÷ 216
    24020 ÷ 65536     		x = 0.36651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28222 ÷ 216
    28222 ÷ 65536     		y = 0.430633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83870400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430633544921875 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.435842291345551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83870400} λ = -0.83870400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435842291345551))-π/2
    2×atan(1.54626491615965)-π/2
    2×0.996730566437199-π/2
    1.9934611328744-1.57079632675     		φ = 0.42266481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83870400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42266481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.216910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24020 KachelY 28222 -0.83870400 0.42266481 -48.054199 24.216910
    Oben rechts KachelX + 1 24021 KachelY 28222 -0.83860812 0.42266481 -48.048706 24.216910
    Unten links KachelX 24020 KachelY + 1 28223 -0.83870400 0.42257737 -48.054199 24.211900
    Unten rechts KachelX + 1 24021 KachelY + 1 28223 -0.83860812 0.42257737 -48.048706 24.211900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42266481-0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42266481-0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83870400--0.83860812) × cos(0.42266481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		do = 557.095997213425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83870400--0.83860812) × cos(0.42257737) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		du = 557.11790462012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42266481)-sin(0.42257737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91199909544812-0.912034959168537)×R²
    abs(-0.83860812--0.83870400)×3.58637204171952e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.58637204171952e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.58637204171952e-05×40589641000000     		ar = 310353.274120093m²