Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24019 / 27186
↖ ↑ ↗
← N 29.295981°
W 48.059692°		 ← 532.67 m → N 29.295981°
W 48.054199°		 →
↑
532.74 m
↓
↑
532.74 m
↓
N 29.291190°
W 48.059692°		 ← 532.70 m →
283 783 m²		 N 29.291190°
W 48.054199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366508483886719 y=0.414833068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366508483886719 × 216)
    floor (0.366508483886719 × 65536)
    floor (24019.5)     		tx = 24019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414833068847656 × 216)
    floor (0.414833068847656 × 65536)
    floor (27186.5)     		ty = 27186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24019 / 27186 ti = "16/24019/27186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24019/27186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24019 ÷ 216
    24019 ÷ 65536     		x = 0.366500854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27186 ÷ 216
    27186 ÷ 65536     		y = 0.414825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366500854492188 × 2 - 1) × π
    -0.266998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83879987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414825439453125 × 2 - 1) × π
    0.17034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.535167547358307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83879987} λ = -0.83879987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535167547358307))-π/2
    2×atan(1.70773434466383)-π/2
    2×1.0410538225657-π/2
    2.08210764513139-1.57079632675     		φ = 0.51131132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83879987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.059692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51131132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.295981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24019 KachelY 27186 -0.83879987 0.51131132 -48.059692 29.295981
    Oben rechts KachelX + 1 24020 KachelY 27186 -0.83870400 0.51131132 -48.054199 29.295981
    Unten links KachelX 24019 KachelY + 1 27187 -0.83879987 0.51122770 -48.059692 29.291190
    Unten rechts KachelX + 1 24020 KachelY + 1 27187 -0.83870400 0.51122770 -48.054199 29.291190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51131132-0.51122770) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dl = 532.743020000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51131132-0.51122770) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dr = 532.743020000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83879987--0.83870400) × cos(0.51131132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		do = 532.670213586548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83879987--0.83870400) × cos(0.51122770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		du = 532.69520335486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51131132)-sin(0.51122770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872103600873606-0.872144514869497)×R²
    abs(-0.83870400--0.83879987)×4.0913995890568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×40589641000000     		ar = 283782.994978042m²