Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24018 / 25586
↖ ↑ ↗
← S 70.561492°
E 83.869629°		 ← 406.53 m → S 70.561492°
E 83.880615°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
S 70.565148°
E 83.869629°		 ← 406.46 m →
165 255 m²		 S 70.565148°
E 83.880615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732986450195312 y=0.780838012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732986450195312 × 215)
    floor (0.732986450195312 × 32768)
    floor (24018.5)     		tx = 24018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780838012695312 × 215)
    floor (0.780838012695312 × 32768)
    floor (25586.5)     		ty = 25586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24018 / 25586 ti = "15/24018/25586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24018/25586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24018 ÷ 215
    24018 ÷ 32768     		x = 0.73297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25586 ÷ 215
    25586 ÷ 32768     		y = 0.78082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    0.4659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46380117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.5616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76446140121503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46380117} λ = 1.46380117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76446140121503))-π/2
    2×atan(0.171279012314276)-π/2
    2×0.169632980965166-π/2
    0.339265961930331-1.57079632675     		φ = -1.23153036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46380117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23153036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.561492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24018 KachelY 25586 1.46380117 -1.23153036 83.869629 -70.561492
    Oben rechts KachelX + 1 24019 KachelY 25586 1.46399291 -1.23153036 83.880615 -70.561492
    Unten links KachelX 24018 KachelY + 1 25587 1.46380117 -1.23159417 83.869629 -70.565148
    Unten rechts KachelX + 1 24019 KachelY + 1 25587 1.46399291 -1.23159417 83.880615 -70.565148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23153036--1.23159417) × R
    6.38099999998865e-05 × 6371000     		dl = 406.533509999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23153036--1.23159417) × R
    6.38099999998865e-05 × 6371000     		dr = 406.533509999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46380117-1.46399291) × cos(-1.23153036) × R
    0.000191739999999996 × 0.332794989131984 × 6371000     		do = 406.534218558188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46380117-1.46399291) × cos(-1.23159417) × R
    0.000191739999999996 × 0.332734815675414 × 6371000     		du = 406.460712135485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23153036)-sin(-1.23159417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332794989131984-0.332734815675414)×R²
    abs(1.46399291-1.46380117)×6.01734565700007e-05×R²
    0.000191739999999996×6.01734565700007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.01734565700007e-05×40589641000000     		ar = 165254.841449341m²