Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24018 / 25585
↖ ↑ ↗
← S 70.557836°
E 83.869629°		 ← 406.61 m → S 70.557836°
E 83.880615°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
S 70.561492°
E 83.869629°		 ← 406.53 m →
165 285 m²		 S 70.561492°
E 83.880615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732986450195312 y=0.780807495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732986450195312 × 215)
    floor (0.732986450195312 × 32768)
    floor (24018.5)     		tx = 24018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780807495117188 × 215)
    floor (0.780807495117188 × 32768)
    floor (25585.5)     		ty = 25585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24018 / 25585 ti = "15/24018/25585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24018/25585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24018 ÷ 215
    24018 ÷ 32768     		x = 0.73297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25585 ÷ 215
    25585 ÷ 32768     		y = 0.780792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    0.4659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46380117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.56158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76426965361655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46380117} λ = 1.46380117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76426965361655))-π/2
    2×atan(0.171311857802478)-π/2
    2×0.16966489016947-π/2
    0.33932978033894-1.57079632675     		φ = -1.23146655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46380117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23146655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.557836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24018 KachelY 25585 1.46380117 -1.23146655 83.869629 -70.557836
    Oben rechts KachelX + 1 24019 KachelY 25585 1.46399291 -1.23146655 83.880615 -70.557836
    Unten links KachelX 24018 KachelY + 1 25586 1.46380117 -1.23153036 83.869629 -70.561492
    Unten rechts KachelX + 1 24019 KachelY + 1 25586 1.46399291 -1.23153036 83.880615 -70.561492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23146655--1.23153036) × R
    6.38100000001085e-05 × 6371000     		dl = 406.533510000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23146655--1.23153036) × R
    6.38100000001085e-05 × 6371000     		dr = 406.533510000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46380117-1.46399291) × cos(-1.23146655) × R
    0.000191739999999996 × 0.332855161233507 × 6371000     		do = 406.6077233256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46380117-1.46399291) × cos(-1.23153036) × R
    0.000191739999999996 × 0.332794989131984 × 6371000     		du = 406.534218558188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23146655)-sin(-1.23153036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332855161233507-0.332794989131984)×R²
    abs(1.46399291-1.46380117)×6.01721015235368e-05×R²
    0.000191739999999996×6.01721015235368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.01721015235368e-05×40589641000000     		ar = 165284.723938013m²