Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24017 / 25587
↖ ↑ ↗
← S 70.565148°
E 83.858643°		 ← 406.48 m → S 70.565148°
E 83.869629°		 →
↑
406.47 m
↓
↑
406.47 m
↓
S 70.568803°
E 83.858643°		 ← 406.41 m →
165 208 m²		 S 70.568803°
E 83.869629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732955932617188 y=0.780868530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732955932617188 × 215)
    floor (0.732955932617188 × 32768)
    floor (24017.5)     		tx = 24017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780868530273438 × 215)
    floor (0.780868530273438 × 32768)
    floor (25587.5)     		ty = 25587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24017 / 25587 ti = "15/24017/25587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24017/25587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24017 ÷ 215
    24017 ÷ 32768     		x = 0.732940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25587 ÷ 215
    25587 ÷ 32768     		y = 0.780853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.732940673828125 × 2 - 1) × π
    0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.56170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76465314881351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46360942} λ = 1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76465314881351))-π/2
    2×atan(0.171246173123513)-π/2
    2×0.169601077530093-π/2
    0.339202155060186-1.57079632675     		φ = -1.23159417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23159417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.565148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24017 KachelY 25587 1.46360942 -1.23159417 83.858643 -70.565148
    Oben rechts KachelX + 1 24018 KachelY 25587 1.46380117 -1.23159417 83.869629 -70.565148
    Unten links KachelX 24017 KachelY + 1 25588 1.46360942 -1.23165797 83.858643 -70.568803
    Unten rechts KachelX + 1 24018 KachelY + 1 25588 1.46380117 -1.23165797 83.869629 -70.568803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23159417--1.23165797) × R
    6.38000000001693e-05 × 6371000     		dl = 406.469800001078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23159417--1.23165797) × R
    6.38000000001693e-05 × 6371000     		dr = 406.469800001078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46360942-1.46380117) × cos(-1.23159417) × R
    0.000191749999999935 × 0.332734815675414 × 6371000     		do = 406.481910670463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46360942-1.46380117) × cos(-1.23165797) × R
    0.000191749999999935 × 0.332674650294458 × 6371000     		du = 406.408410279597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23159417)-sin(-1.23165797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332734815675414-0.332674650294458)×R²
    abs(1.46380117-1.46360942)×6.01653809553793e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01653809553793e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01653809553793e-05×40589641000000     		ar = 165207.683145585m²