Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24017 / 25584
↖ ↑ ↗
← S 70.554179°
E 83.858643°		 ← 406.70 m → S 70.554179°
E 83.869629°		 →
↑
406.66 m
↓
↑
406.66 m
↓
S 70.557836°
E 83.858643°		 ← 406.63 m →
165 375 m²		 S 70.557836°
E 83.869629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732955932617188 y=0.780776977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732955932617188 × 215)
    floor (0.732955932617188 × 32768)
    floor (24017.5)     		tx = 24017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780776977539062 × 215)
    floor (0.780776977539062 × 32768)
    floor (25584.5)     		ty = 25584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24017 / 25584 ti = "15/24017/25584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24017/25584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24017 ÷ 215
    24017 ÷ 32768     		x = 0.732940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25584 ÷ 215
    25584 ÷ 32768     		y = 0.78076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.732940673828125 × 2 - 1) × π
    0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46360942} λ = 1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76407790601807))-π/2
    2×atan(0.171344709589328)-π/2
    2×0.169696805143919-π/2
    0.339393610287838-1.57079632675     		φ = -1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24017 KachelY 25584 1.46360942 -1.23140272 83.858643 -70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 24018 KachelY 25584 1.46380117 -1.23140272 83.869629 -70.554179
    Unten links KachelX 24017 KachelY + 1 25585 1.46360942 -1.23146655 83.858643 -70.557836
    Unten rechts KachelX + 1 24018 KachelY + 1 25585 1.46380117 -1.23146655 83.869629 -70.557836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23140272--1.23146655) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dl = 406.660929999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23140272--1.23146655) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dr = 406.660929999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46360942-1.46380117) × cos(-1.23140272) × R
    0.000191749999999935 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 406.70245951215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46360942-1.46380117) × cos(-1.23146655) × R
    0.000191749999999935 × 0.332855161233507 × 6371000     		du = 406.628929527793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23140272)-sin(-1.23146655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.332855161233507)×R²
    abs(1.46380117-1.46360942)×6.01896053660789e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01896053660789e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01896053660789e-05×40589641000000     		ar = 165375.049588559m²