Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24015 / 28225
↖ ↑ ↗
← N 24.201879°
W 48.081665°		 ← 557.10 m → N 24.201879°
W 48.076172°		 →
↑
557.14 m
↓
↑
557.14 m
↓
N 24.196869°
W 48.081665°		 ← 557.13 m →
310 393 m²		 N 24.196869°
W 48.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366447448730469 y=0.430686950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366447448730469 × 216)
    floor (0.366447448730469 × 65536)
    floor (24015.5)     		tx = 24015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430686950683594 × 216)
    floor (0.430686950683594 × 65536)
    floor (28225.5)     		ty = 28225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24015 / 28225 ti = "16/24015/28225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24015/28225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24015 ÷ 216
    24015 ÷ 65536     		x = 0.366439819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28225 ÷ 216
    28225 ÷ 65536     		y = 0.430679321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366439819335938 × 2 - 1) × π
    -0.267120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83918336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430679321289062 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43555466994783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83918336} λ = -0.83918336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43555466994783))-π/2
    2×atan(1.5458202412353)-π/2
    2×0.996599403474041-π/2
    1.99319880694808-1.57079632675     		φ = 0.42240248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83918336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42240248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.201879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24015 KachelY 28225 -0.83918336 0.42240248 -48.081665 24.201879
    Oben rechts KachelX + 1 24016 KachelY 28225 -0.83908749 0.42240248 -48.076172 24.201879
    Unten links KachelX 24015 KachelY + 1 28226 -0.83918336 0.42231503 -48.081665 24.196869
    Unten rechts KachelX + 1 24016 KachelY + 1 28226 -0.83908749 0.42231503 -48.076172 24.196869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42240248-0.42231503) × R
    8.74500000000444e-05 × 6371000     		dl = 557.143950000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42240248-0.42231503) × R
    8.74500000000444e-05 × 6371000     		dr = 557.143950000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83918336--0.83908749) × cos(0.42240248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912106669789043 × 6371000     		do = 557.103598842564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83918336--0.83908749) × cos(0.42231503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912142516686988 × 6371000     		du = 557.125493689421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42240248)-sin(0.42231503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912106669789043-0.912142516686988)×R²
    abs(-0.83908749--0.83918336)×3.58468979454463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58468979454463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58468979454463e-05×40589641000000     		ar = 310392.999107149m²