Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24015 / 28124
↖ ↑ ↗
← N 24.706915°
W 48.081665°		 ← 554.87 m → N 24.706915°
W 48.076172°		 →
↑
554.91 m
↓
↑
554.91 m
↓
N 24.701925°
W 48.081665°		 ← 554.90 m →
307 914 m²		 N 24.701925°
W 48.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366447448730469 y=0.429145812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366447448730469 × 216)
    floor (0.366447448730469 × 65536)
    floor (24015.5)     		tx = 24015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429145812988281 × 216)
    floor (0.429145812988281 × 65536)
    floor (28124.5)     		ty = 28124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24015 / 28124 ti = "16/24015/28124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24015/28124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24015 ÷ 216
    24015 ÷ 65536     		x = 0.366439819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28124 ÷ 216
    28124 ÷ 65536     		y = 0.42913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366439819335938 × 2 - 1) × π
    -0.267120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83918336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445237923671082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83918336} λ = -0.83918336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445237923671082))-π/2
    2×atan(1.56086151756011)-π/2
    2×1.00100667287556-π/2
    2.00201334575111-1.57079632675     		φ = 0.43121702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83918336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43121702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.706915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24015 KachelY 28124 -0.83918336 0.43121702 -48.081665 24.706915
    Oben rechts KachelX + 1 24016 KachelY 28124 -0.83908749 0.43121702 -48.076172 24.706915
    Unten links KachelX 24015 KachelY + 1 28125 -0.83918336 0.43112992 -48.081665 24.701925
    Unten rechts KachelX + 1 24016 KachelY + 1 28125 -0.83908749 0.43112992 -48.076172 24.701925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43121702-0.43112992) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dl = 554.914100000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43121702-0.43112992) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dr = 554.914100000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83918336--0.83908749) × cos(0.43121702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908457736544525 × 6371000     		do = 554.874875043266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83918336--0.83908749) × cos(0.43112992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90849413887108 × 6371000     		du = 554.897109139125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43121702)-sin(0.43112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908457736544525-0.90849413887108)×R²
    abs(-0.83908749--0.83918336)×3.64023265548852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64023265548852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64023265548852e-05×40589641000000     		ar = 307914.061098668m²