Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24014 / 28138
↖ ↑ ↗
← N 24.637032°
W 48.087158°		 ← 555.24 m → N 24.637032°
W 48.081665°		 →
↑
555.23 m
↓
↑
555.23 m
↓
N 24.632038°
W 48.087158°		 ← 555.27 m →
308 296 m²		 N 24.632038°
W 48.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366432189941406 y=0.429359436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366432189941406 × 216)
    floor (0.366432189941406 × 65536)
    floor (24014.5)     		tx = 24014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429359436035156 × 216)
    floor (0.429359436035156 × 65536)
    floor (28138.5)     		ty = 28138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24014 / 28138 ti = "16/24014/28138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24014/28138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24014 ÷ 216
    24014 ÷ 65536     		x = 0.366424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28138 ÷ 216
    28138 ÷ 65536     		y = 0.429351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.26715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83927924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44389569048172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83927924} λ = -0.83927924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44389569048172))-π/2
    2×atan(1.55876788281459)-π/2
    2×1.00039682090959-π/2
    2.00079364181918-1.57079632675     		φ = 0.42999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83927924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.637032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24014 KachelY 28138 -0.83927924 0.42999732 -48.087158 24.637032
    Oben rechts KachelX + 1 24015 KachelY 28138 -0.83918336 0.42999732 -48.081665 24.637032
    Unten links KachelX 24014 KachelY + 1 28139 -0.83927924 0.42991017 -48.087158 24.632038
    Unten rechts KachelX + 1 24015 KachelY + 1 28139 -0.83918336 0.42991017 -48.081665 24.632038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42999732-0.42991017) × R
    8.71500000000358e-05 × 6371000     		dl = 555.232650000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42999732-0.42991017) × R
    8.71500000000358e-05 × 6371000     		dr = 555.232650000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83927924--0.83918336) × cos(0.42999732) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.908966866885371 × 6371000     		do = 555.243755907528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83927924--0.83918336) × cos(0.42991017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.9090031935116 × 6371000     		du = 555.265946080923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42999732)-sin(0.42991017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908966866885371-0.9090031935116)×R²
    abs(-0.83918336--0.83927924)×3.63266262284334e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.63266262284334e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.63266262284334e-05×40589641000000     		ar = 308295.622538188m²