Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24014 / 25582
↖ ↑ ↗
← S 70.546862°
E 83.825684°		 ← 406.83 m → S 70.546862°
E 83.836670°		 →
↑
406.79 m
↓
↑
406.79 m
↓
S 70.550520°
E 83.825684°		 ← 406.75 m →
165 478 m²		 S 70.550520°
E 83.836670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732864379882812 y=0.780715942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732864379882812 × 215)
    floor (0.732864379882812 × 32768)
    floor (24014.5)     		tx = 24014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780715942382812 × 215)
    floor (0.780715942382812 × 32768)
    floor (25582.5)     		ty = 25582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24014 / 25582 ti = "15/24014/25582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24014/25582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24014 ÷ 215
    24014 ÷ 32768     		x = 0.73284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25582 ÷ 215
    25582 ÷ 32768     		y = 0.78070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73284912109375 × 2 - 1) × π
    0.4656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.46303418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76369441082111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46303418} λ = 1.46303418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76369441082111))-π/2
    2×atan(0.171410432063801)-π/2
    2×0.169760652406906-π/2
    0.339521304813811-1.57079632675     		φ = -1.23127502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46303418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.825684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23127502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.546862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24014 KachelY 25582 1.46303418 -1.23127502 83.825684 -70.546862
    Oben rechts KachelX + 1 24015 KachelY 25582 1.46322592 -1.23127502 83.836670 -70.546862
    Unten links KachelX 24014 KachelY + 1 25583 1.46303418 -1.23133887 83.825684 -70.550520
    Unten rechts KachelX + 1 24015 KachelY + 1 25583 1.46322592 -1.23133887 83.836670 -70.550520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23127502--1.23133887) × R
    6.38500000000874e-05 × 6371000     		dl = 406.788350000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23127502--1.23133887) × R
    6.38500000000874e-05 × 6371000     		dr = 406.788350000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46303418-1.46322592) × cos(-1.23127502) × R
    0.000191739999999996 × 0.333035763696768 × 6371000     		do = 406.828342877183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46303418-1.46322592) × cos(-1.23133887) × R
    0.000191739999999996 × 0.332975557946562 × 6371000     		du = 406.754797005364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23127502)-sin(-1.23133887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333035763696768-0.332975557946562)×R²
    abs(1.46322592-1.46303418)×6.02057502065434e-05×R²
    0.000191739999999996×6.02057502065434e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.02057502065434e-05×40589641000000     		ar = 165478.071586864m²