Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24011 / 28122
↖ ↑ ↗
← N 24.716896°
W 48.103638°		 ← 554.83 m → N 24.716896°
W 48.098145°		 →
↑
554.91 m
↓
↑
554.91 m
↓
N 24.711905°
W 48.103638°		 ← 554.85 m →
307 889 m²		 N 24.711905°
W 48.098145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366386413574219 y=0.429115295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366386413574219 × 216)
    floor (0.366386413574219 × 65536)
    floor (24011.5)     		tx = 24011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429115295410156 × 216)
    floor (0.429115295410156 × 65536)
    floor (28122.5)     		ty = 28122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24011 / 28122 ti = "16/24011/28122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24011/28122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24011 ÷ 216
    24011 ÷ 65536     		x = 0.366378784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28122 ÷ 216
    28122 ÷ 65536     		y = 0.429107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366378784179688 × 2 - 1) × π
    -0.267242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83956686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.445429671269562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83956686} λ = -0.83956686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445429671269562))-π/2
    2×atan(1.5611608377037)-π/2
    2×1.00109376667965-π/2
    2.0021875333593-1.57079632675     		φ = 0.43139121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83956686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.103638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43139121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.716896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24011 KachelY 28122 -0.83956686 0.43139121 -48.103638 24.716896
    Oben rechts KachelX + 1 24012 KachelY 28122 -0.83947099 0.43139121 -48.098145 24.716896
    Unten links KachelX 24011 KachelY + 1 28123 -0.83956686 0.43130411 -48.103638 24.711905
    Unten rechts KachelX + 1 24012 KachelY + 1 28123 -0.83947099 0.43130411 -48.098145 24.711905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43139121-0.43130411) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dl = 554.914100000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43139121-0.43130411) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dr = 554.914100000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83956686--0.83947099) × cos(0.43139121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908384915397242 × 6371000     		do = 554.830396777108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83956686--0.83947099) × cos(0.43130411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908421331506596 × 6371000     		du = 554.852639291332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43139121)-sin(0.43130411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908384915397242-0.908421331506596)×R²
    abs(-0.83947099--0.83956686)×3.64161093531212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64161093531212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64161093531212e-05×40589641000000     		ar = 307889.381817254m²