Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2401 / 806
↖ ↑ ↗
← N 83.262255°
W127.243653°		 ← 286.66 m → N 83.262255°
W127.221680°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 83.259677°
W127.243653°		 ← 286.77 m →
82 199 m²		 N 83.259677°
W127.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146575927734375 y=0.049224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146575927734375 × 214)
    floor (0.146575927734375 × 16384)
    floor (2401.5)     		tx = 2401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.049224853515625 × 214)
    floor (0.049224853515625 × 16384)
    floor (806.5)     		ty = 806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2401 / 806 ti = "14/2401/806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2401/806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2401 ÷ 214
    2401 ÷ 16384     		x = 0.14654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 806 ÷ 214
    806 ÷ 16384     		y = 0.0491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.7069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22082069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0491943359375 × 2 - 1) × π
    0.901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83249552474988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22082069} λ = -2.22082069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83249552474988))-π/2
    2×atan(16.9878014504932)-π/2
    2×1.51199841001445-π/2
    3.0239968200289-1.57079632675     		φ = 1.45320049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22082069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.243653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45320049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.262255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2401 KachelY 806 -2.22082069 1.45320049 -127.243653 83.262255
    Oben rechts KachelX + 1 2402 KachelY 806 -2.22043719 1.45320049 -127.221680 83.262255
    Unten links KachelX 2401 KachelY + 1 807 -2.22082069 1.45315549 -127.243653 83.259677
    Unten rechts KachelX + 1 2402 KachelY + 1 807 -2.22043719 1.45315549 -127.221680 83.259677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45320049-1.45315549) × R
    4.49999999998507e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45320049-1.45315549) × R
    4.49999999998507e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22082069--2.22043719) × cos(1.45320049) × R
    0.00038349999999987 × 0.11732498962809 × 6371000     		do = 286.657624670939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22082069--2.22043719) × cos(1.45315549) × R
    0.00038349999999987 × 0.117369678720115 × 6371000     		du = 286.766812568668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45320049)-sin(1.45315549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.11732498962809-0.117369678720115)×R²
    abs(-2.22043719--2.22082069)×4.46890920252213e-05×R²
    0.00038349999999987×4.46890920252213e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.46890920252213e-05×40589641000000     		ar = 82198.9595304305m²