Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2401 / 1493
↖ ↑ ↗
← N 81.238313°
W127.243653°		 ← 372.17 m → N 81.238313°
W127.221680°		 →
↑
372.19 m
↓
↑
372.19 m
↓
N 81.234966°
W127.243653°		 ← 372.31 m →
138 547 m²		 N 81.234966°
W127.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146575927734375 y=0.091156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146575927734375 × 214)
    floor (0.146575927734375 × 16384)
    floor (2401.5)     		tx = 2401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.091156005859375 × 214)
    floor (0.091156005859375 × 16384)
    floor (1493.5)     		ty = 1493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2401 / 1493 ti = "14/2401/1493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2401/1493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2401 ÷ 214
    2401 ÷ 16384     		x = 0.14654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1493 ÷ 214
    1493 ÷ 16384     		y = 0.09112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.7069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22082069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09112548828125 × 2 - 1) × π
    0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22082069} λ = -2.22082069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56903432443805))-π/2
    2×atan(13.0532131837467)-π/2
    2×1.49433618565572-π/2
    2.98867237131144-1.57079632675     		φ = 1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22082069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.243653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2401 KachelY 1493 -2.22082069 1.41787604 -127.243653 81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 2402 KachelY 1493 -2.22043719 1.41787604 -127.221680 81.238313
    Unten links KachelX 2401 KachelY + 1 1494 -2.22082069 1.41781762 -127.243653 81.234966
    Unten rechts KachelX + 1 2402 KachelY + 1 1494 -2.22043719 1.41781762 -127.221680 81.234966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41787604-1.41781762) × R
    5.84200000000035e-05 × 6371000     		dl = 372.193820000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41787604-1.41781762) × R
    5.84200000000035e-05 × 6371000     		dr = 372.193820000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22082069--2.22043719) × cos(1.41787604) × R
    0.00038349999999987 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 372.172363995966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22082069--2.22043719) × cos(1.41781762) × R
    0.00038349999999987 × 0.152382724287716 × 6371000     		du = 372.313434023479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41787604)-sin(1.41781762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152382724287716)×R²
    abs(-2.22043719--2.22082069)×5.77380055171994e-05×R²
    0.00038349999999987×5.77380055171994e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.77380055171994e-05×40589641000000     		ar = 138546.506589077m²