Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24008 / 28118
↖ ↑ ↗
← N 24.736853°
W 48.120117°		 ← 554.74 m → N 24.736853°
W 48.114624°		 →
↑
554.79 m
↓
↑
554.79 m
↓
N 24.731864°
W 48.120117°		 ← 554.76 m →
307 769 m²		 N 24.731864°
W 48.114624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366340637207031 y=0.429054260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366340637207031 × 216)
    floor (0.366340637207031 × 65536)
    floor (24008.5)     		tx = 24008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429054260253906 × 216)
    floor (0.429054260253906 × 65536)
    floor (28118.5)     		ty = 28118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24008 / 28118 ti = "16/24008/28118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24008/28118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24008 ÷ 216
    24008 ÷ 65536     		x = 0.3663330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28118 ÷ 216
    28118 ÷ 65536     		y = 0.429046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83985448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429046630859375 × 2 - 1) × π
    0.14190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445813166466522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83985448} λ = -0.83985448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445813166466522))-π/2
    2×atan(1.56175965020016)-π/2
    2×1.001267933338-π/2
    2.00253586667601-1.57079632675     		φ = 0.43173954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83985448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43173954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.736853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24008 KachelY 28118 -0.83985448 0.43173954 -48.120117 24.736853
    Oben rechts KachelX + 1 24009 KachelY 28118 -0.83975861 0.43173954 -48.114624 24.736853
    Unten links KachelX 24008 KachelY + 1 28119 -0.83985448 0.43165246 -48.120117 24.731864
    Unten rechts KachelX + 1 24009 KachelY + 1 28119 -0.83975861 0.43165246 -48.114624 24.731864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43173954-0.43165246) × R
    8.70799999999616e-05 × 6371000     		dl = 554.786679999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43173954-0.43165246) × R
    8.70799999999616e-05 × 6371000     		dr = 554.786679999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83985448--0.83975861) × cos(0.43173954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908239211340386 × 6371000     		do = 554.741402521141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83985448--0.83975861) × cos(0.43165246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90827564664062 × 6371000     		du = 554.76365675692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43173954)-sin(0.43165246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908239211340386-0.90827564664062)×R²
    abs(-0.83975861--0.83985448)×3.64353002338946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64353002338946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64353002338946e-05×40589641000000     		ar = 307769.314334488m²