Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 240 / 51
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E157.500000°		 ← 46.197 km → N 72.816073°
E158.906250°		 →
↑
46.743 km
↓
↑
46.743 km
↓
N 72.395706°
E157.500000°		 ← 47.292 km →
2 184.99 km²		 N 72.395706°
E158.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939453125 y=0.201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939453125 × 28)
    floor (0.939453125 × 256)
    floor (240.5)     		tx = 240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201171875 × 28)
    floor (0.201171875 × 256)
    floor (51.5)     		ty = 51
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 240 / 51 ti = "8/240/51"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/240/51.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 240 ÷ 28
    240 ÷ 256     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51 ÷ 28
    51 ÷ 256     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 240 KachelY 51 2.74889357 1.27088023 157.500000 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 241 KachelY 51 2.77343726 1.27088023 158.906250 72.816073
    Unten links KachelX 240 KachelY + 1 52 2.74889357 1.26354343 157.500000 72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 241 KachelY + 1 52 2.77343726 1.26354343 158.906250 72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.26354343) × R
    0.00733680000000003 × 6371000     		dl = 46742.7528000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.26354343) × R
    0.00733680000000003 × 6371000     		dr = 46742.7528000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(1.27088023) × R
    0.0245436900000002 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 46197.3250970797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(1.26354343) × R
    0.0245436900000002 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 47292.1002269098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.302441330058417)×R²
    abs(2.77343726-2.74889357)×0.00700128023056718×R²
    0.0245436900000002×0.00700128023056718×6371000²
    0.0245436900000002×0.00700128023056718×40589641000000     		ar = 2184986349.91138m²