Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23998 / 27200
↖ ↑ ↗
← N 29.228890°
W 48.175049°		 ← 533.02 m → N 29.228890°
W 48.169556°		 →
↑
533.06 m
↓
↑
533.06 m
↓
N 29.224096°
W 48.175049°		 ← 533.04 m →
284 139 m²		 N 29.224096°
W 48.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366188049316406 y=0.415046691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366188049316406 × 216)
    floor (0.366188049316406 × 65536)
    floor (23998.5)     		tx = 23998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415046691894531 × 216)
    floor (0.415046691894531 × 65536)
    floor (27200.5)     		ty = 27200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23998 / 27200 ti = "16/23998/27200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23998/27200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23998 ÷ 216
    23998 ÷ 65536     		x = 0.366180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27200 ÷ 216
    27200 ÷ 65536     		y = 0.4150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.26763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84081322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84081322} λ = -0.84081322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533825314168945))-π/2
    2×atan(1.70544370457828)-π/2
    2×1.04046834725591-π/2
    2.08093669451182-1.57079632675     		φ = 0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84081322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23998 KachelY 27200 -0.84081322 0.51014037 -48.175049 29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 23999 KachelY 27200 -0.84071735 0.51014037 -48.169556 29.228890
    Unten links KachelX 23998 KachelY + 1 27201 -0.84081322 0.51005670 -48.175049 29.224096
    Unten rechts KachelX + 1 23999 KachelY + 1 27201 -0.84071735 0.51005670 -48.169556 29.224096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51014037-0.51005670) × R
    8.36699999999801e-05 × 6371000     		dl = 533.061569999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51014037-0.51005670) × R
    8.36699999999801e-05 × 6371000     		dr = 533.061569999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84081322--0.84071735) × cos(0.51014037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 533.019811852394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84081322--0.84071735) × cos(0.51005670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872716826592979 × 6371000     		du = 533.044764356191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51014037)-sin(0.51005670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.872716826592979)×R²
    abs(-0.84071735--0.84081322)×4.08529853117567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08529853117567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08529853117567e-05×40589641000000     		ar = 284139.028523257m²