Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23991 / 27185
↖ ↑ ↗
← N 29.300771°
W 48.213501°		 ← 532.70 m → N 29.300771°
W 48.208008°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
N 29.295981°
W 48.213501°		 ← 532.73 m →
283 765 m²		 N 29.295981°
W 48.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366081237792969 y=0.414817810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366081237792969 × 216)
    floor (0.366081237792969 × 65536)
    floor (23991.5)     		tx = 23991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414817810058594 × 216)
    floor (0.414817810058594 × 65536)
    floor (27185.5)     		ty = 27185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23991 / 27185 ti = "16/23991/27185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23991/27185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23991 ÷ 216
    23991 ÷ 65536     		x = 0.366073608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27185 ÷ 216
    27185 ÷ 65536     		y = 0.414810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366073608398438 × 2 - 1) × π
    -0.267852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84148434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414810180664062 × 2 - 1) × π
    0.170379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.535263421157547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84148434} λ = -0.84148434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535263421157547))-π/2
    2×atan(1.70789807949236)-π/2
    2×1.04109562752785-π/2
    2.08219125505571-1.57079632675     		φ = 0.51139493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84148434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.213501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51139493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.300771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23991 KachelY 27185 -0.84148434 0.51139493 -48.213501 29.300771
    Oben rechts KachelX + 1 23992 KachelY 27185 -0.84138846 0.51139493 -48.208008 29.300771
    Unten links KachelX 23991 KachelY + 1 27186 -0.84148434 0.51131132 -48.213501 29.295981
    Unten rechts KachelX + 1 23992 KachelY + 1 27186 -0.84138846 0.51131132 -48.208008 29.295981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51139493-0.51131132) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dl = 532.679310000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51139493-0.51131132) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dr = 532.679310000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84148434--0.84138846) × cos(0.51139493) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		do = 532.700782196788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84148434--0.84138846) × cos(0.51131132) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		du = 532.725775307239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51139493)-sin(0.51131132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872062685673644-0.872103600873606)×R²
    abs(-0.84138846--0.84148434)×4.09151999622992e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.09151999622992e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.09151999622992e-05×40589641000000     		ar = 283765.341918904m²