Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2399 / 864
↖ ↑ ↗
← N 83.111071°
W127.287598°		 ← 293.06 m → N 83.111071°
W127.265625°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 83.108435°
W127.287598°		 ← 293.17 m →
85 902 m²		 N 83.108435°
W127.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146453857421875 y=0.052764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146453857421875 × 214)
    floor (0.146453857421875 × 16384)
    floor (2399.5)     		tx = 2399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.052764892578125 × 214)
    floor (0.052764892578125 × 16384)
    floor (864.5)     		ty = 864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2399 / 864 ti = "14/2399/864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2399/864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2399 ÷ 214
    2399 ÷ 16384     		x = 0.14642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 864 ÷ 214
    864 ÷ 16384     		y = 0.052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.7071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22158768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.052734375 × 2 - 1) × π
    0.89453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.81025280332617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22158768} λ = -2.22158768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.81025280332617))-π/2
    2×atan(16.6141177921705)-π/2
    2×1.51067908026439-π/2
    3.02135816052877-1.57079632675     		φ = 1.45056183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22158768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.287598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45056183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.111071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2399 KachelY 864 -2.22158768 1.45056183 -127.287598 83.111071
    Oben rechts KachelX + 1 2400 KachelY 864 -2.22120418 1.45056183 -127.265625 83.111071
    Unten links KachelX 2399 KachelY + 1 865 -2.22158768 1.45051583 -127.287598 83.108435
    Unten rechts KachelX + 1 2400 KachelY + 1 865 -2.22120418 1.45051583 -127.265625 83.108435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45056183-1.45051583) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dl = 293.065999999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45056183-1.45051583) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dr = 293.065999999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22158768--2.22120418) × cos(1.45056183) × R
    0.00038349999999987 × 0.119945014438427 × 6371000     		do = 293.059074959499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22158768--2.22120418) × cos(1.45051583) × R
    0.00038349999999987 × 0.119990682216185 × 6371000     		du = 293.170654059037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45056183)-sin(1.45051583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119945014438427-0.119990682216185)×R²
    abs(-2.22120418--2.22158768)×4.56677777577741e-05×R²
    0.00038349999999987×4.56677777577741e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.56677777577741e-05×40589641000000     		ar = 85902.0008975795m²