Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23988 / 27220
↖ ↑ ↗
← N 29.132970°
W 48.229981°		 ← 533.57 m → N 29.132970°
W 48.224487°		 →
↑
533.57 m
↓
↑
533.57 m
↓
N 29.128172°
W 48.229981°		 ← 533.60 m →
284 706 m²		 N 29.128172°
W 48.224487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366035461425781 y=0.415351867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366035461425781 × 216)
    floor (0.366035461425781 × 65536)
    floor (23988.5)     		tx = 23988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415351867675781 × 216)
    floor (0.415351867675781 × 65536)
    floor (27220.5)     		ty = 27220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23988 / 27220 ti = "16/23988/27220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23988/27220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23988 ÷ 216
    23988 ÷ 65536     		x = 0.36602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27220 ÷ 216
    27220 ÷ 65536     		y = 0.41534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.2679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84177196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41534423828125 × 2 - 1) × π
    0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84177196} λ = -0.84177196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531907838184143))-π/2
    2×atan(1.70217669044288)-π/2
    2×1.03963128822531-π/2
    2.07926257645061-1.57079632675     		φ = 0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84177196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.229981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23988 KachelY 27220 -0.84177196 0.50846625 -48.229981 29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 23989 KachelY 27220 -0.84167608 0.50846625 -48.224487 29.132970
    Unten links KachelX 23988 KachelY + 1 27221 -0.84177196 0.50838250 -48.229981 29.128172
    Unten rechts KachelX + 1 23989 KachelY + 1 27221 -0.84167608 0.50838250 -48.224487 29.128172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50846625-0.50838250) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dl = 533.571250000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50846625-0.50838250) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dr = 533.571250000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84177196--0.84167608) × cos(0.50846625) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 533.574016996791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84177196--0.84167608) × cos(0.50838250) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		du = 533.598921184134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50846625)-sin(0.50838250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873532992315061)×R²
    abs(-0.84167608--0.84177196)×4.07696275740443e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.07696275740443e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.07696275740443e-05×40589641000000     		ar = 284706.399462146m²