Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23983 / 27193
↖ ↑ ↗
← N 29.262441°
W 48.257446°		 ← 532.90 m → N 29.262441°
W 48.251953°		 →
↑
532.87 m
↓
↑
532.87 m
↓
N 29.257649°
W 48.257446°		 ← 532.93 m →
283 974 m²		 N 29.257649°
W 48.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365959167480469 y=0.414939880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365959167480469 × 216)
    floor (0.365959167480469 × 65536)
    floor (23983.5)     		tx = 23983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414939880371094 × 216)
    floor (0.414939880371094 × 65536)
    floor (27193.5)     		ty = 27193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23983 / 27193 ti = "16/23983/27193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23983/27193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23983 ÷ 216
    23983 ÷ 65536     		x = 0.365951538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27193 ÷ 216
    27193 ÷ 65536     		y = 0.414932250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365951538085938 × 2 - 1) × π
    -0.268096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84225133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414932250976562 × 2 - 1) × π
    0.170135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.534496430763626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84225133} λ = -0.84225133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534496430763626))-π/2
    2×atan(1.70658864029943)-π/2
    2×1.04076113292694-π/2
    2.08152226585388-1.57079632675     		φ = 0.51072594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84225133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.257446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51072594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.262441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23983 KachelY 27193 -0.84225133 0.51072594 -48.257446 29.262441
    Oben rechts KachelX + 1 23984 KachelY 27193 -0.84215545 0.51072594 -48.251953 29.262441
    Unten links KachelX 23983 KachelY + 1 27194 -0.84225133 0.51064230 -48.257446 29.257649
    Unten rechts KachelX + 1 23984 KachelY + 1 27194 -0.84215545 0.51064230 -48.251953 29.257649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51072594-0.51064230) × R
    8.36400000000515e-05 × 6371000     		dl = 532.870440000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51072594-0.51064230) × R
    8.36400000000515e-05 × 6371000     		dr = 532.870440000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84225133--0.84215545) × cos(0.51072594) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.872389890322959 × 6371000     		do = 532.900655640468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84225133--0.84215545) × cos(0.51064230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.872430771396581 × 6371000     		du = 532.925627904793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51072594)-sin(0.51064230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872389890322959-0.872430771396581)×R²
    abs(-0.84215545--0.84225133)×4.088107362199e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.088107362199e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.088107362199e-05×40589641000000     		ar = 283973.660503789m²