Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2398 / 863
↖ ↑ ↗
← N 83.113706°
W127.309570°		 ← 292.94 m → N 83.113706°
W127.287598°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
N 83.111071°
W127.309570°		 ← 293.05 m →
85 848 m²		 N 83.111071°
W127.287598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146392822265625 y=0.052703857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146392822265625 × 214)
    floor (0.146392822265625 × 16384)
    floor (2398.5)     		tx = 2398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.052703857421875 × 214)
    floor (0.052703857421875 × 16384)
    floor (863.5)     		ty = 863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2398 / 863 ti = "14/2398/863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2398/863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2398 ÷ 214
    2398 ÷ 16384     		x = 0.1463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 863 ÷ 214
    863 ÷ 16384     		y = 0.05267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22197117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05267333984375 × 2 - 1) × π
    0.8946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.81063629852313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22197117} λ = -2.22197117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.81063629852313))-π/2
    2×atan(16.620490448409)-π/2
    2×1.51070207505449-π/2
    3.02140415010899-1.57079632675     		φ = 1.45060782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22197117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.309570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45060782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.113706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2398 KachelY 863 -2.22197117 1.45060782 -127.309570 83.113706
    Oben rechts KachelX + 1 2399 KachelY 863 -2.22158768 1.45060782 -127.287598 83.113706
    Unten links KachelX 2398 KachelY + 1 864 -2.22197117 1.45056183 -127.309570 83.111071
    Unten rechts KachelX + 1 2399 KachelY + 1 864 -2.22158768 1.45056183 -127.287598 83.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45060782-1.45056183) × R
    4.59900000000513e-05 × 6371000     		dl = 293.002290000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45060782-1.45056183) × R
    4.59900000000513e-05 × 6371000     		dr = 293.002290000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22197117--2.22158768) × cos(1.45060782) × R
    0.000383490000000375 × 0.119899356334726 × 6371000     		do = 292.939880708769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22197117--2.22158768) × cos(1.45056183) × R
    0.000383490000000375 × 0.119945014438427 × 6371000     		du = 293.051433263015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45060782)-sin(1.45056183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119899356334726-0.119945014438427)×R²
    abs(-2.22158768--2.22197117)×4.56581037009546e-05×R²
    0.000383490000000375×4.56581037009546e-05×6371000²
    0.000383490000000375×4.56581037009546e-05×40589641000000     		ar = 85848.3984733517m²