Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2397 / 1924
↖ ↑ ↗
← N 10.833306°
E 30.673828°		 ← 9 598.88 m → N 10.833306°
E 30.761719°		 →
↑
9 600.21 m
↓
↑
9 600.21 m
↓
N 10.746969°
E 30.673828°		 ← 9 601.63 m →
92 164 435 m²		 N 10.746969°
E 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5853271484375 y=0.4698486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5853271484375 × 212)
    floor (0.5853271484375 × 4096)
    floor (2397.5)     		tx = 2397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4698486328125 × 212)
    floor (0.4698486328125 × 4096)
    floor (1924.5)     		ty = 1924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2397 / 1924 ti = "12/2397/1924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2397/1924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2397 ÷ 212
    2397 ÷ 4096     		x = 0.585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1924 ÷ 212
    1924 ÷ 4096     		y = 0.4697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53535929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53535929} λ = 0.53535929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190213617692383))-π/2
    2×atan(1.20950794235833)-π/2
    2×0.879936592540061-π/2
    1.75987318508012-1.57079632675     		φ = 0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53535929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2397 KachelY 1924 0.53535929 0.18907686 30.673828 10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 2398 KachelY 1924 0.53689328 0.18907686 30.761719 10.833306
    Unten links KachelX 2397 KachelY + 1 1925 0.53535929 0.18757000 30.673828 10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 2398 KachelY + 1 1925 0.53689328 0.18757000 30.761719 10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18907686-0.18757000) × R
    0.00150686000000003 × 6371000     		dl = 9600.20506000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18907686-0.18757000) × R
    0.00150686000000003 × 6371000     		dr = 9600.20506000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53535929-0.53689328) × cos(0.18907686) × R
    0.00153398999999999 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 9598.87655011975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53535929-0.53689328) × cos(0.18757000) × R
    0.00153398999999999 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 9601.63355298164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18907686)-sin(0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982460262463433)×R²
    abs(0.53689328-0.53535929)×0.000282102596433798×R²
    0.00153398999999999×0.000282102596433798×6371000²
    0.00153398999999999×0.000282102596433798×40589641000000     		ar = 92164434.5624443m²