Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2397 / 1852
↖ ↑ ↗
← N 16.972741°
E 30.673828°		 ← 9 347.37 m → N 16.972741°
E 30.761719°		 →
↑
9 349.38 m
↓
↑
9 349.38 m
↓
N 16.888660°
E 30.673828°		 ← 9 351.55 m →
87 411 669 m²		 N 16.888660°
E 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5853271484375 y=0.4522705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5853271484375 × 212)
    floor (0.5853271484375 × 4096)
    floor (2397.5)     		tx = 2397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4522705078125 × 212)
    floor (0.4522705078125 × 4096)
    floor (1852.5)     		ty = 1852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2397 / 1852 ti = "12/2397/1852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2397/1852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2397 ÷ 212
    2397 ÷ 4096     		x = 0.585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1852 ÷ 212
    1852 ÷ 4096     		y = 0.4521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53535929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53535929} λ = 0.53535929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300660234416992))-π/2
    2×atan(1.35075032509173)-π/2
    2×0.933513270336981-π/2
    1.86702654067396-1.57079632675     		φ = 0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53535929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2397 KachelY 1852 0.53535929 0.29623021 30.673828 16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 2398 KachelY 1852 0.53689328 0.29623021 30.761719 16.972741
    Unten links KachelX 2397 KachelY + 1 1853 0.53535929 0.29476272 30.673828 16.888660
    Unten rechts KachelX + 1 2398 KachelY + 1 1853 0.53689328 0.29476272 30.761719 16.888660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29623021-0.29476272) × R
    0.00146749000000002 × 6371000     		dl = 9349.3787900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29623021-0.29476272) × R
    0.00146749000000002 × 6371000     		dr = 9349.3787900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53535929-0.53689328) × cos(0.29623021) × R
    0.00153398999999999 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 9347.37284211587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53535929-0.53689328) × cos(0.29476272) × R
    0.00153398999999999 × 0.956871102137163 × 6371000     		du = 9351.54940223413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29623021)-sin(0.29476272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.956871102137163)×R²
    abs(0.53689328-0.53535929)×0.000427354817004955×R²
    0.00153398999999999×0.000427354817004955×6371000²
    0.00153398999999999×0.000427354817004955×40589641000000     		ar = 87411669.2005449m²