Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23969 / 30241
↖ ↑ ↗
← N 13.747389°
W 48.334351°		 ← 593.29 m → N 13.747389°
W 48.328858°		 →
↑
593.33 m
↓
↑
593.33 m
↓
N 13.742053°
W 48.334351°		 ← 593.30 m →
352 022 m²		 N 13.742053°
W 48.328858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365745544433594 y=0.461448669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365745544433594 × 216)
    floor (0.365745544433594 × 65536)
    floor (23969.5)     		tx = 23969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		ty = 30241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23969 / 30241 ti = "16/23969/30241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23969/30241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23969 ÷ 216
    23969 ÷ 65536     		x = 0.365737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		y = 0.461441040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365737915039062 × 2 - 1) × π
    -0.268524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84359356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    0.077117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.242273090679764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84359356} λ = -0.84359356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242273090679764))-π/2
    2×atan(1.27414210164136)-π/2
    2×0.905366763535079-π/2
    1.81073352707016-1.57079632675     		φ = 0.23993720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84359356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.334351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23993720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.747389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23969 KachelY 30241 -0.84359356 0.23993720 -48.334351 13.747389
    Oben rechts KachelX + 1 23970 KachelY 30241 -0.84349769 0.23993720 -48.328858 13.747389
    Unten links KachelX 23969 KachelY + 1 30242 -0.84359356 0.23984407 -48.334351 13.742053
    Unten rechts KachelX + 1 23970 KachelY + 1 30242 -0.84349769 0.23984407 -48.328858 13.742053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23993720-0.23984407) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dl = 593.33122999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23993720-0.23984407) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dr = 593.33122999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84359356--0.84349769) × cos(0.23993720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971352900661559 × 6371000     		do = 593.290472078092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84359356--0.84349769) × cos(0.23984407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971375028013782 × 6371000     		du = 593.303987194213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23993720)-sin(0.23984407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971352900661559-0.971375028013782)×R²
    abs(-0.84349769--0.84359356)×2.21273522237331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21273522237331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21273522237331e-05×40589641000000     		ar = 352021.775270014m²