Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 23966 / 25566
↖ ↑ ↗
← S 70.488236°
E 83.298340°		 ← 408.03 m → S 70.488236°
E 83.309326°		 →
↑
408 m
↓
↑
408 m
↓
S 70.491905°
E 83.298340°		 ← 407.95 m →
166 460 m²		 S 70.491905°
E 83.309326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731399536132812 y=0.780227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731399536132812 × 215)
    floor (0.731399536132812 × 32768)
    floor (23966.5)     		tx = 23966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780227661132812 × 215)
    floor (0.780227661132812 × 32768)
    floor (25566.5)     		ty = 25566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23966 / 25566 ti = "15/23966/25566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23966/25566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23966 ÷ 215
    23966 ÷ 32768     		x = 0.73138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25566 ÷ 215
    25566 ÷ 32768     		y = 0.78021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73138427734375 × 2 - 1) × π
    0.4627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.45383029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76062644924542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45383029} λ = 1.45383029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76062644924542))-π/2
    2×atan(0.171937120199409)-π/2
    2×0.17027226242035-π/2
    0.3405445248407-1.57079632675     		φ = -1.23025180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45383029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.298340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23025180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.488236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23966 KachelY 25566 1.45383029 -1.23025180 83.298340 -70.488236
    Oben rechts KachelX + 1 23967 KachelY 25566 1.45402204 -1.23025180 83.309326 -70.488236
    Unten links KachelX 23966 KachelY + 1 25567 1.45383029 -1.23031584 83.298340 -70.491905
    Unten rechts KachelX + 1 23967 KachelY + 1 25567 1.45402204 -1.23031584 83.309326 -70.491905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23025180--1.23031584) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dl = 407.998840000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23025180--1.23031584) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dr = 407.998840000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45383029-1.45402204) × cos(-1.23025180) × R
    0.000191749999999935 × 0.334000397850807 × 6371000     		do = 408.027995530023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45383029-1.45402204) × cos(-1.23031584) × R
    0.000191749999999935 × 0.333940034795323 × 6371000     		du = 407.954253652194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23025180)-sin(-1.23031584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334000397850807-0.333940034795323)×R²
    abs(1.45402204-1.45383029)×6.03630554834034e-05×R²
    0.000191749999999935×6.03630554834034e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.03630554834034e-05×40589641000000     		ar = 166459.905619743m²