Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23962 / 30118
↖ ↑ ↗
← N 14.402759°
W 48.372803°		 ← 591.65 m → N 14.402759°
W 48.367309°		 →
↑
591.61 m
↓
↑
591.61 m
↓
N 14.397439°
W 48.372803°		 ← 591.67 m →
350 033 m²		 N 14.397439°
W 48.367309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365638732910156 y=0.459571838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365638732910156 × 216)
    floor (0.365638732910156 × 65536)
    floor (23962.5)     		tx = 23962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459571838378906 × 216)
    floor (0.459571838378906 × 65536)
    floor (30118.5)     		ty = 30118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23962 / 30118 ti = "16/23962/30118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23962/30118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23962 ÷ 216
    23962 ÷ 65536     		x = 0.365631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30118 ÷ 216
    30118 ÷ 65536     		y = 0.459564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84426468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459564208984375 × 2 - 1) × π
    0.08087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.254065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84426468} λ = -0.84426468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254065567986298))-π/2
    2×atan(1.28925633543824)-π/2
    2×0.911085949654921-π/2
    1.82217189930984-1.57079632675     		φ = 0.25137557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84426468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.372803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25137557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.402759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23962 KachelY 30118 -0.84426468 0.25137557 -48.372803 14.402759
    Oben rechts KachelX + 1 23963 KachelY 30118 -0.84416880 0.25137557 -48.367309 14.402759
    Unten links KachelX 23962 KachelY + 1 30119 -0.84426468 0.25128271 -48.372803 14.397439
    Unten rechts KachelX + 1 23963 KachelY + 1 30119 -0.84416880 0.25128271 -48.367309 14.397439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25137557-0.25128271) × R
    9.28599999999724e-05 × 6371000     		dl = 591.611059999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25137557-0.25128271) × R
    9.28599999999724e-05 × 6371000     		dr = 591.611059999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84426468--0.84416880) × cos(0.25137557) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.968571183669317 × 6371000     		do = 591.653141029366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84426468--0.84416880) × cos(0.25128271) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.968594277167626 × 6371000     		du = 591.667247726986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25137557)-sin(0.25128271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968571183669317-0.968594277167626)×R²
    abs(-0.84416880--0.84426468)×2.30934983088682e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.30934983088682e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.30934983088682e-05×40589641000000     		ar = 350032.715007321m²