Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23954 / 30354
↖ ↑ ↗
← N 13.143678°
W 48.416748°		 ← 594.85 m → N 13.143678°
W 48.411255°		 →
↑
594.80 m
↓
↑
594.80 m
↓
N 13.138328°
W 48.416748°		 ← 594.86 m →
353 818 m²		 N 13.138328°
W 48.411255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365516662597656 y=0.463172912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365516662597656 × 216)
    floor (0.365516662597656 × 65536)
    floor (23954.5)     		tx = 23954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463172912597656 × 216)
    floor (0.463172912597656 × 65536)
    floor (30354.5)     		ty = 30354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23954 / 30354 ti = "16/23954/30354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23954/30354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23954 ÷ 216
    23954 ÷ 65536     		x = 0.365509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30354 ÷ 216
    30354 ÷ 65536     		y = 0.463165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84503167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463165283203125 × 2 - 1) × π
    0.07366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.231439351365631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84503167} λ = -0.84503167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231439351365631))-π/2
    2×atan(1.26041288193947)-π/2
    2×0.900098389852368-π/2
    1.80019677970474-1.57079632675     		φ = 0.22940045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84503167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.416748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22940045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.143678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23954 KachelY 30354 -0.84503167 0.22940045 -48.416748 13.143678
    Oben rechts KachelX + 1 23955 KachelY 30354 -0.84493579 0.22940045 -48.411255 13.143678
    Unten links KachelX 23954 KachelY + 1 30355 -0.84503167 0.22930709 -48.416748 13.138328
    Unten rechts KachelX + 1 23955 KachelY + 1 30355 -0.84493579 0.22930709 -48.411255 13.138328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22940045-0.22930709) × R
    9.33600000000145e-05 × 6371000     		dl = 594.796560000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22940045-0.22930709) × R
    9.33600000000145e-05 × 6371000     		dr = 594.796560000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84503167--0.84493579) × cos(0.22940045) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.973802903924267 × 6371000     		do = 594.848945090735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84503167--0.84493579) × cos(0.22930709) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.973824129158144 × 6371000     		du = 594.861910556262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22940045)-sin(0.22930709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973802903924267-0.973824129158144)×R²
    abs(-0.84493579--0.84503167)×2.12252338765984e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12252338765984e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12252338765984e-05×40589641000000     		ar = 353817.962423827m²