Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23953 / 25648
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
E 83.155517°		 ← 402.02 m → S 70.786910°
E 83.166504°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
S 70.790525°
E 83.155517°		 ← 401.95 m →
161 601 m²		 S 70.790525°
E 83.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731002807617188 y=0.782730102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731002807617188 × 215)
    floor (0.731002807617188 × 32768)
    floor (23953.5)     		tx = 23953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782730102539062 × 215)
    floor (0.782730102539062 × 32768)
    floor (25648.5)     		ty = 25648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23953 / 25648 ti = "15/23953/25648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23953/25648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23953 ÷ 215
    23953 ÷ 32768     		x = 0.730987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25648 ÷ 215
    25648 ÷ 32768     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.730987548828125 × 2 - 1) × π
    0.46197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45133757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45133757} λ = 1.45133757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45133757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.155517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23953 KachelY 25648 1.45133757 -1.23546464 83.155517 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 23954 KachelY 25648 1.45152932 -1.23546464 83.166504 -70.786910
    Unten links KachelX 23953 KachelY + 1 25649 1.45133757 -1.23552774 83.155517 -70.790525
    Unten rechts KachelX + 1 23954 KachelY + 1 25649 1.45152932 -1.23552774 83.166504 -70.790525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23552774) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23552774) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45133757-1.45152932) × cos(-1.23546464) × R
    0.000191749999999935 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 402.019976582896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45133757-1.45152932) × cos(-1.23552774) × R
    0.000191749999999935 × 0.329022814150467 × 6371000     		du = 401.94718391153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23552774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.329022814150467)×R²
    abs(1.45152932-1.45133757)×5.95860614056587e-05×R²
    0.000191749999999935×5.95860614056587e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.95860614056587e-05×40589641000000     		ar = 161601.459347369m²