Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2395 / 1477
↖ ↑ ↗
← N 81.291703°
W127.375488°		 ← 369.92 m → N 81.291703°
W127.353516°		 →
↑
369.96 m
↓
↑
369.96 m
↓
N 81.288376°
W127.375488°		 ← 370.06 m →
136 884 m²		 N 81.288376°
W127.353516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146209716796875 y=0.090179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146209716796875 × 214)
    floor (0.146209716796875 × 16384)
    floor (2395.5)     		tx = 2395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090179443359375 × 214)
    floor (0.090179443359375 × 16384)
    floor (1477.5)     		ty = 1477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2395 / 1477 ti = "14/2395/1477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2395/1477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2395 ÷ 214
    2395 ÷ 16384     		x = 0.14617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1477 ÷ 214
    1477 ÷ 16384     		y = 0.09014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.7076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22312166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09014892578125 × 2 - 1) × π
    0.8197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57517024758942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22312166} λ = -2.22312166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57517024758942))-π/2
    2×atan(13.1335529238935)-π/2
    2×1.49480209862873-π/2
    2.98960419725746-1.57079632675     		φ = 1.41880787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22312166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.375488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41880787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.291703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2395 KachelY 1477 -2.22312166 1.41880787 -127.375488 81.291703
    Oben rechts KachelX + 1 2396 KachelY 1477 -2.22273816 1.41880787 -127.353516 81.291703
    Unten links KachelX 2395 KachelY + 1 1478 -2.22312166 1.41874980 -127.375488 81.288376
    Unten rechts KachelX + 1 2396 KachelY + 1 1478 -2.22273816 1.41874980 -127.353516 81.288376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41880787-1.41874980) × R
    5.80699999999101e-05 × 6371000     		dl = 369.963969999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41880787-1.41874980) × R
    5.80699999999101e-05 × 6371000     		dr = 369.963969999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22312166--2.22273816) × cos(1.41880787) × R
    0.00038349999999987 × 0.151403964310319 × 6371000     		do = 369.922050814045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22312166--2.22273816) × cos(1.41874980) × R
    0.00038349999999987 × 0.151461364622429 × 6371000     		du = 370.062295762517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41880787)-sin(1.41874980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151403964310319-0.151461364622429)×R²
    abs(-2.22273816--2.22312166)×5.74003121099065e-05×R²
    0.00038349999999987×5.74003121099065e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.74003121099065e-05×40589641000000     		ar = 136883.77333802m²