Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23947 / 27421
↖ ↑ ↗
← N 28.164033°
W 48.455200°		 ← 538.47 m → N 28.164033°
W 48.449707°		 →
↑
538.54 m
↓
↑
538.54 m
↓
N 28.159189°
W 48.455200°		 ← 538.49 m →
289 995 m²		 N 28.159189°
W 48.449707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365409851074219 y=0.418418884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365409851074219 × 216)
    floor (0.365409851074219 × 65536)
    floor (23947.5)     		tx = 23947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418418884277344 × 216)
    floor (0.418418884277344 × 65536)
    floor (27421.5)     		ty = 27421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23947 / 27421 ti = "16/23947/27421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23947/27421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23947 ÷ 216
    23947 ÷ 65536     		x = 0.365402221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27421 ÷ 216
    27421 ÷ 65536     		y = 0.418411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365402221679688 × 2 - 1) × π
    -0.269195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84570278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418411254882812 × 2 - 1) × π
    0.163177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.512637204536881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84570278} λ = -0.84570278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512637204536881))-π/2
    2×atan(1.66968870445778)-π/2
    2×1.03117571241794-π/2
    2.06235142483588-1.57079632675     		φ = 0.49155510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84570278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.455200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49155510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.164033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23947 KachelY 27421 -0.84570278 0.49155510 -48.455200 28.164033
    Oben rechts KachelX + 1 23948 KachelY 27421 -0.84560691 0.49155510 -48.449707 28.164033
    Unten links KachelX 23947 KachelY + 1 27422 -0.84570278 0.49147057 -48.455200 28.159189
    Unten rechts KachelX + 1 23948 KachelY + 1 27422 -0.84560691 0.49147057 -48.449707 28.159189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49155510-0.49147057) × R
    8.45300000000271e-05 × 6371000     		dl = 538.540630000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49155510-0.49147057) × R
    8.45300000000271e-05 × 6371000     		dr = 538.540630000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84570278--0.84560691) × cos(0.49155510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881599921697964 × 6371000     		do = 538.470450206062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84570278--0.84560691) × cos(0.49147057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881639816491387 × 6371000     		du = 538.494817457972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49155510)-sin(0.49147057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881599921697964-0.881639816491387)×R²
    abs(-0.84560691--0.84570278)×3.98947934234783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98947934234783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98947934234783e-05×40589641000000     		ar = 289994.777040667m²