Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23946 / 27420
↖ ↑ ↗
← N 28.168875°
W 48.460694°		 ← 538.50 m → N 28.168875°
W 48.455200°		 →
↑
538.48 m
↓
↑
538.48 m
↓
N 28.164033°
W 48.460694°		 ← 538.53 m →
289 978 m²		 N 28.164033°
W 48.455200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365394592285156 y=0.418403625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365394592285156 × 216)
    floor (0.365394592285156 × 65536)
    floor (23946.5)     		tx = 23946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418403625488281 × 216)
    floor (0.418403625488281 × 65536)
    floor (27420.5)     		ty = 27420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23946 / 27420 ti = "16/23946/27420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23946/27420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23946 ÷ 216
    23946 ÷ 65536     		x = 0.365386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27420 ÷ 216
    27420 ÷ 65536     		y = 0.41839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.26922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84579866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.512733078336121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84579866} λ = -0.84579866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512733078336121))-π/2
    2×atan(1.66984879153138)-π/2
    2×1.0312179726287-π/2
    2.06243594525739-1.57079632675     		φ = 0.49163962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84579866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.460694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49163962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.168875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23946 KachelY 27420 -0.84579866 0.49163962 -48.460694 28.168875
    Oben rechts KachelX + 1 23947 KachelY 27420 -0.84570278 0.49163962 -48.455200 28.168875
    Unten links KachelX 23946 KachelY + 1 27421 -0.84579866 0.49155510 -48.460694 28.164033
    Unten rechts KachelX + 1 23947 KachelY + 1 27421 -0.84570278 0.49155510 -48.455200 28.164033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49163962-0.49155510) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dl = 538.476919999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49163962-0.49155510) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dr = 538.476919999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84579866--0.84570278) × cos(0.49163962) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.881560025325945 × 6371000     		do = 538.502246179462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84579866--0.84570278) × cos(0.49155510) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.881599921697964 × 6371000     		du = 538.526616937356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49163962)-sin(0.49155510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881560025325945-0.881599921697964)×R²
    abs(-0.84570278--0.84579866)×3.98963720183998e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98963720183998e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98963720183998e-05×40589641000000     		ar = 289977.592653572m²