Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23943 / 27430
↖ ↑ ↗
← N 28.120439°
W 48.477173°		 ← 538.75 m → N 28.120439°
W 48.471679°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
N 28.115594°
W 48.477173°		 ← 538.77 m →
290 246 m²		 N 28.115594°
W 48.471679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365348815917969 y=0.418556213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365348815917969 × 216)
    floor (0.365348815917969 × 65536)
    floor (23943.5)     		tx = 23943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418556213378906 × 216)
    floor (0.418556213378906 × 65536)
    floor (27430.5)     		ty = 27430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23943 / 27430 ti = "16/23943/27430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23943/27430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23943 ÷ 216
    23943 ÷ 65536     		x = 0.365341186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27430 ÷ 216
    27430 ÷ 65536     		y = 0.418548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365341186523438 × 2 - 1) × π
    -0.269317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84608628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418548583984375 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84608628} λ = -0.84608628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511774340343719))-π/2
    2×atan(1.66824861125275)-π/2
    2×1.03079528448855-π/2
    2.0615905689771-1.57079632675     		φ = 0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84608628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.477173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23943 KachelY 27430 -0.84608628 0.49079424 -48.477173 28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 23944 KachelY 27430 -0.84599040 0.49079424 -48.471679 28.120439
    Unten links KachelX 23943 KachelY + 1 27431 -0.84608628 0.49070968 -48.477173 28.115594
    Unten rechts KachelX + 1 23944 KachelY + 1 27431 -0.84599040 0.49070968 -48.471679 28.115594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49079424-0.49070968) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dl = 538.731760000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49079424-0.49070968) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dr = 538.731760000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84608628--0.84599040) × cos(0.49079424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 538.745832444216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84608628--0.84599040) × cos(0.49070968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.881998642666273 × 6371000     		du = 538.770176230331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49079424)-sin(0.49070968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.881998642666273)×R²
    abs(-0.84599040--0.84608628)×3.98522176210392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.98522176210392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.98522176210392e-05×40589641000000     		ar = 290246.048063602m²