Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23942 / 27427
↖ ↑ ↗
← N 28.134972°
W 48.482666°		 ← 538.62 m → N 28.134972°
W 48.477173°		 →
↑
538.67 m
↓
↑
538.67 m
↓
N 28.130128°
W 48.482666°		 ← 538.64 m →
290 142 m²		 N 28.130128°
W 48.477173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365333557128906 y=0.418510437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365333557128906 × 216)
    floor (0.365333557128906 × 65536)
    floor (23942.5)     		tx = 23942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418510437011719 × 216)
    floor (0.418510437011719 × 65536)
    floor (27427.5)     		ty = 27427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23942 / 27427 ti = "16/23942/27427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23942/27427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23942 ÷ 216
    23942 ÷ 65536     		x = 0.365325927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27427 ÷ 216
    27427 ÷ 65536     		y = 0.418502807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.26934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84618215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    0.162994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.51206196174144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84618215} λ = -0.84618215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51206196174144))-π/2
    2×atan(1.66872850426051)-π/2
    2×1.03092211100034-π/2
    2.06184422200068-1.57079632675     		φ = 0.49104790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84618215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.482666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49104790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.134972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23942 KachelY 27427 -0.84618215 0.49104790 -48.482666 28.134972
    Oben rechts KachelX + 1 23943 KachelY 27427 -0.84608628 0.49104790 -48.477173 28.134972
    Unten links KachelX 23942 KachelY + 1 27428 -0.84618215 0.49096335 -48.482666 28.130128
    Unten rechts KachelX + 1 23943 KachelY + 1 27428 -0.84608628 0.49096335 -48.477173 28.130128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49104790-0.49096335) × R
    8.4549999999961e-05 × 6371000     		dl = 538.668049999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49104790-0.49096335) × R
    8.4549999999961e-05 × 6371000     		dr = 538.668049999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84618215--0.84608628) × cos(0.49104790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881839205389819 × 6371000     		do = 538.616601758608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84618215--0.84608628) × cos(0.49096335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881879071809394 × 6371000     		du = 538.640951680118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49104790)-sin(0.49096335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881839205389819-0.881879071809394)×R²
    abs(-0.84608628--0.84618215)×3.98664195753184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98664195753184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98664195753184e-05×40589641000000     		ar = 290142.113002034m²